Вишка. Клочко

відповідному невідомому стовпцем вільних членів. Формули Крамера справедливі за умови, що D ¹ 0, при цьому система рівнянь має єдиний розв’язок.

Система лінійних рівнянь, визначник якої відмінний від нуля, називається невиродженою. Отже, доведена така теорема.

Теорема. Всяка невироджена система лінійних рівнянь має розв’язок і цей розв’язок єдиний.

ìх1 + 2х2 - 3х3 = 0,

Приклад 11. Розв’язати систему рівнянь ïí2х1 - х2 + 4х3 = 5,

ïî 3х1 + х2 - х3 = 2.

Розв’язування. Розв’яжемо цю систему за допомогою формул Крамера. Визначник цієї системи уже знайдений (див. приклад 9):

Знайдемо допоміжні визначники за вказаним правилом:

20

результати збіглися з тими, що ми дістали, застосовуючи матричний спосіб. Цей метод виявився більш зручним, ніж матричний. Зауважимо, що матричний спосіб розв’язування систем лінійних рівнянь зручно використовувати у випадках, коли розв’язується ряд систем, в яких ліві частини однакові, а праві – різні, тобто випробовується деяка так звана динамічна система, параметрами якої є коефіцієнти при невідомих,

вхідними величинами є вільні члени системи, а вихідними величинами є

шукані розв’язки х1 , х2 , ..., хn .

1.7 Метод Гаусса

У випадках, коли система лінійних рівнянь має велику кількість невідомих, користуватись формулами Крамера незручно, оскільки вони ведуть до громіздких обчислень, адже треба буде обчислювати визначники вищих порядків. Матричним способом користуватись тим більш незручно. Якщо ж система рівнянь вироджена, то цими способами її розв’язати неможливо. Це незручно зробити і у випадку, коли коефіцієнти системи і вільні члени є дробовими числами, і особливо незручно, коли вони є наближеними.

На практиці використовують метод послідовного виключення невідомих або метод Гаусса, суть якого в такому. На першому кроці виключають одне із невідомих з цих рівнянь, крім одного. На другому кроці виключають ще одне невідоме з рівнянь, в яких вже виключене одне невідоме на першому кроці, і теж крім одного рівняння. Цей процес послідовного виключення невідомих продовжують доти, поки не дістанемо одне лінійне рівняння з одним невідомим. Це є прямий хід методу Гаусса. Систему лінійних рівнянь буде зведено до рівносильної клиноподібної системи, в якій перше рівняння містить всі невідомі, друге – на одне невідоме менше, третє – ще на одне невідоме менше, ніж в другому, і т.д., останнє – одне невідоме. З останнього рівняння знаходять це одне невідоме, з попереднього – наступне, і всі решту невідомих, якщо йти в зворотному порядку (це так званий зворотний хід методу Гаусса).

Викладемо суть методу Гаусса на прикладі системи трьох рівнянь з трьома невідомими

21

Припустимо, що а11 ¹ 0 . Якщо це не так, то, помінявши рівняння

системи, доб’ємося того, щоб коефіцієнт, що стоїть в першому рівнянні нової системи при невідомому х1 , був відмінний від нуля.

Коефіцієнт а11 ¹ 0 будемо називати провідним. Виключимо невідоме х1 з другого і третього рівнянь системи. Для цього помножимо перше рівняння на (-а21 ), а друге – на а11 і додамо їх почленно, дістанемо:

(а11а22 - а12а21 )х2 + (а11а23 - а13а21 )х3 = а11b2 - а21b1 . Отже, виключено х1 із

другого рівняння. Аналогічно виключимо невідоме х1 із третього рівняння, помноживши перше рівняння на (-а31 ) , а третє – на а11 і почленно

додавши їх, дістанемо

(a11a32 - a12a31 )x2 + (a11a33 - a13a31 )x3 = a11b3 - a31b1.

Отримані рівняння візьмемо за друге і третє рівняння нової системи, залишивши перше рівняння незмінним. Тоді дістанемо рівносильну систему рівнянь

додавши почленно. Дістанемо таку рівносильну систему рівнянь:

методу Гаусса.

Зауважимо, що, якщо розглядається система n рівнянь з n невідомими, то останнє рівняння з одним невідомим дістанемо на (n -1)-му кроці прямого ходу методу Гаусса.

Далі з останнього рівняння системи (1.22) знаходимо невідоме х3 , з

попереднього рівняння визначаємо х2, а з першого –х1. Як бачимо, зворотний хід методу Гаусса із системи (1.22) легко здійснити.

22

Зауваження. Метод Гаусса дозволяє провести одночасно і

попереднього рівняння системи (1.22) виражають х2 через t , а з першого рівняння знаходять невідоме x1 , виразивши його теж через t . Дістанемо

так званий загальний розв’язок системи.

Зауваження. Викладений метод переходу до рівносильної клиноподібної системи (1.22) (прямий хід методу Гаусса) можна вести за таким формалізованим правилом: записують дану систему (1.20) у вигляді таблиці, що складається із коефіцієнтів при невідомих і вільних членів; виділяють прямокутну клітину, одна з діагоналей якої містить головний коефіцієнт, що виділяється кружком або квадратом, і коефіцієнт або вільний член, що перераховується; саме від їх добутку віднімається добуток елементів клітини, що утворюють іншу діагональ уявного прямокутника; знайдена різниця і буде новим коефіцієнтом при відповідному невідомому або новим вільним членом після виключення одного із невідомих, при цьому ці нові перераховані елементи записують по рядках, відділивши їх від вихідних даних горизонтальною рискою. Перерахувавши всі коефіцієнти при невідомих і вільні члени у відповідних рівняннях на кожному кроці прямого ходу, відповідну частину записують нижче від записів попереднього кроку, відділяючи їх горизонтальною рискою, при цьому зліва таблиці на кожному кроці „зірочкою” визначаємо рядок, що містить провідний коефіцієнт, переходячи далі до наступного кроку.

Такий процес слід продовжувати доти, поки не дістанемо одне рівняння з однією змінною (на цьому прямий хід методу Гаусса завершується), після чого знаходять цю змінну і всі інші. Ця модифікація

Розв’язування. Запишемо цю систему схематично у вигляді таблиці. Відзначаючи провідні елементи (коефіцієнти при невідомих ), виключимо спочатку х1 в другому і третьому рівняннях, потім х2 в третьому рівнянні:

23

х3 = 1. Це частинні розв’язки системи.

24

2 ЕЛЕМЕНТИ ВЕКТОРНОЇ АЛГЕБРИ

2.1 Скалярні і векторні величини

При вивченні математики, фізики, механіки, хімії та технічних дисциплін зустрічаються величини, які повністю характеризуються певним числовим значенням, своєю числовою мірою. Наприклад, довжина, площа, об’єм, маса, температура, тиск, потенціал, опір тощо. Такі величини називаються скалярними.

Зустрічаються і величини, для визначення яких, крім числових значень, необхідно знати ще їх напрям в реальному просторі. Наприклад,

сила, швидкість, прискорення, напруженість електромагнітного поля тощо. Такі величини називаються векторними.

2.2 Поняття вектора

Вектором називається напрямлений відрізок прямої.

Напрям вектора фіксується тим, що одна його кінцева точка вважається його початком, а друга – його кінцем, тому вектор напрямлений від свого початку до свого кінця. Якщо точка А є початком

→

вектора, а точка В є його кінцем, то вектор позначається символом АВ , або

→

однією буквою а , або буквою напівжирного шрифту а. Можна використовувати і інші букви. Початок вектора називається точкою прикладання вектора. На рисунку вектор зображається стрілкою в його кінці.

ВДовжина напрямленого відрізка, що зображає вектор

→

позначається символом | а | або | a |.

Вектор, в якого початок і кінець збігаються, називається нульовим

→

вектором або нуль-вектором, його позначають символом 0 .

Вектори, що лежать на одній прямій або на паралельних прямих,

називаються колінеарними. Якщо вектори а і b колінеарні, то це позначається так: а || b.

Вектори, що лежать в одній площині або в паралельних площинах,

називаються компланарними.

Два вектори називаються рівними, якщо вони мають однакові модулі, колінеарні і однаково напрямлені.

Якщо два вектори мають однакові модулі, колінеарні і протилежно напрямлені, то такі вектори називаються протилежними.

Ортом вектора називається вектор, який однаково напрямлений з даним вектором і має модуль, що дорівнює одиниці. Орт вектора а позначається а0 .

25

2.3 Лінійні операції над векторами

До цих операцій відносяться додавання і віднімання векторів та множення вектора на число.

2.3.1 Додавання векторів

З фізики відоме додавання двох векторів за правилом паралелограма,

яке полягає в тому що будується паралелограм на даних векторах як на сторонах, привівши їх до спільної точки прикладання. Вектор, що зображається діагоналлю паралелограма, яка виходить із спільної точки прикладання, називається сумою двох векторів (рис. 2.2).

→

Зауважимо, що для побудови сумарного вектора ОС немає необхідності будувати весь паралелограм ОАСВ, достатньо побудувати трикутник ОАС. Тому додавання векторів можна замінити більш зручним правилом.

Означення. Сумою двох векторів а і b називається третій вектор с, що з’єднує початок першого вектора а з кінцем другого вектора b за умови,

Це додавання двох векторів виконано за правилом трикутника. Зауваження. Додавання трьох і більше векторів a, b, c, d, …

здійснюється послідовно: спочатку додають за правилом трикутника перший вектор а з другим вектором b, потім до їх суми а + b додають третій вектор с, потім до суми а + b + с додають четвертий вектор d і т.д.

→

З рисунка 2.5 видно, що вектор ОD є сумою векторів a, b, c і d, який можна знаходити за правилом многокутника, яке полягає в тому, що сумою кількох векторів є замикальний вектор, що з’єднує початок першого вектора-доданка і кінець останнього вектора-доданка за умови, що початок кожного наступного вектора збігається з кінцем попереднього (рис. 2.6 ).

26

Дія додавання векторів підпорядковується всім тим законам, що і арифметична дія додавання чисел, а саме:

1.а + b = b + а – переставний або комутативний закон;

2.(а + b ) + с = а + ( b + с ) – сполучний або асоціативний закон;

3.а + 0 = а;

4.для кожного вектора а існує вектор а΄ такий, що а + а΄ = 0; вектор

а΄ називається протилежним до вектора а.

Це безпосередньо видно, якщо користуватися вказаними правилами додавання векторів.

2.3.2 Віднімання векторів

Ця дія є оберненою до дії додавання векторів і визначається через суму векторів подібно тому, як визначається різниця чисел.

Означення. Різницею векторів а і b називається такий вектор с, який в сумі з вектором b дає вектор а .

Різниця векторів позначається символом с = а – b (2.2) Отже, за означенням з рівності (2.2) випливає, що b + с = а. Оскільки вектор а повинен бути замикальним при додаванні векторів за правилом трикутника, то вектор с = а – b повинен з’єднувати кінці векторів а і b за умови, що у них спільна точка прикладання, і напрямлений в кінець

вектора-зменшуваного а ( рис 2.4 ).

Зауважимо, що за правилом паралелограма різницею двох векторів а і b є вектор, що зображається діагоналлю паралелограма, що з’єднує кінці векторів а і b.

2.3.3 Множення вектора на число

Природно вважати множення вектора а на натуральне число п як послідовне додавання вектора а з самим собою п разів, в результаті дістанемо новий вектор па, а множення вектора а на ціле від’ємне число (–п) як множення протилежного вектора –а на ціле додатне число п, тобто (–п)а = п(–а), в результаті дістанемо вектор протилежно напрямлений вектору а. Узагальнимо цю операцію множення вектора а на довільне число α.

Означення. Добутком вектора а на число α називається вектор b,

який задовольняє такі умови:

− модуль вектора b дорівнює добутку модуля вектора а на

−вектор b колінеарний вектору а;

−вектор b однаково напрямлений з вектором а, якщо число α додатне, і протилежно напрямлений з вектором а, якщо число α від’ємне.

Операція множення вектора на число підпорядковане таким властивостям:

−α (а + b) = αа + α b – розподільний закон;

−(α + β) а = αа + βа – розподільний закон;

27

−α(βа) = (αβ)а – сполучний закон;

−0 · а = 0; α · 0 = 0.

−1· а = а і (–1) · а = –а; вектор –а є протилежний вектору а.

Ці властивості безпосередньо випливають з означення. Зауважимо, що дія ділення вектора на скаляр α визначається як множення вектора а на обернене число 1α .

Справедлива така теорема.

Теорема (про колінеарні вектори). Для того щоб вектори а і b були

де λ – деяке число.

Доведення. Достатність. Якщо виконується рівність b = λа, то з означення дії множення вектора а на число λ (з другої умови) випливає, що b || а.

Необхідність. Нехай ненульові вектори а і b колінеарні. Це означає, що ці вектори можуть відрізнятися лише довжинами, маючи однакові або протилежні напрямки. Якщо вектори а і b однаково напрямлені, то число

λ = аb і b = аb а, якщо вектори а і b мають протилежні напрями, то число λ

від’ємне і λ = – аb , тоді b = – аb а.

Зауваження. Якщо помножити орт вектора на модуль вектора, то дістанемо сам вектор, тобто

звідки а0 = а1 а .

2.4 Лінійна комбінація векторів. Лінійно залежні і лінійно незалежні вектори

Якщо над векторами a, b, c, d виконувати дії додавання, віднімання і множення вектора на число, то в результаті дістанемо деякий вектор αa+βb+γc+δd, який називають лінійною комбінацією векторів, де α, β, γ і δ

– деякі числа. Введемо це поняття для будь-якого числа заданих векторів a1, a2, ..., an.

Означення. Лінійною комбінацією векторів a1, a2, ..., an називається

де α1, α2, ..., αn – деякі задані числа, які називають коефіцієнтами.

Якщо задана рівність (2.6), то говорять, що вектор b розкладено за да-

ними векторами а1, а2, ..., аn.

Зауважимо, що, якщо всі коефіцієнти лінійної комбінації (2.6) дорівнюють нулю, то в результаті дістанемо нуль-вектор 0. Але можливі

28

випадки, коли нульова лінійна комбінація векторів виконується за умови, що не всі її коефіцієнти дорівнюють нулю. Введемо два важливі для векторної алгебри поняття.

Означення. Вектори a1, a2, ..., an називаються лінійно залежними,

якщо знайдуться числа α1, α2, ..., αn, серед яких хоча б одне відмінне від

тобто нульова лінійна комбінація можлива за умови, коли не всі її коефіцієнти дорівнюють нулю.

Означення. Вектори a1, a2, ..., an називаються лінійно незалежними,

якщо їх лінійна комбінація α1 a1 + α2 a2 +...+ αn an дорівнює нульовому вектору лише в тому випадку, коли всі її коефіцієнти дорівнюють нулю, тобто за умови, що виконується рівність α12 + α22 +...+ αn2 = 0.

З цих означень випливає, що коли серед векторів а1, а2, ..., аn є хоч один нульовий вектор, то ці вектори є лінійно залежними (чому?).

Справедлива така теорема.

Теорема. Якщо вектори a1, a2, ..., an лінійно залежні, то хоча б один із них буде лінійною комбінацією решти векторів.

Доведення. Нехай вектори a1, a2, ..., an є лінійно залежними, тобто існують числа α1, α2, ..., αn, серед яких хоча б одне не дорівнює нулю, такі, що виконується рівність α1 a1+ α2 a2 +...+ αn an=0.

Нехай для визначеності α1 ≠ 0. Тоді додавши до обох частин рівності

означає, що саме вектор a1 є лінійною комбінацією векторів a2, a3, ..., an. Теорему доведено.

Наступні теореми дозволять нам вказати приклади лінійно залежних і лінійно незалежних векторів.

Теорема 1. Якщо два вектори колінеарні , то вони лінійно залежні.

Доведення. Нехай вектори а і b колінеарні. Тоді на підставі теореми про колінеарні вектори матимемо, що b = λа, звідси випливає b – λа = 0 або – λа + b = 0. Отже, α1 = – λ, α2 = 1. Оскільки нульова лінійна комбінація

– λа + b = 0 виконується за умови, що α2 ≠ 0, то за означенням випливає, що вектори а і b лінійно залежні.

Справедлива і обернена теорема.

Теорема 2. Якщо два вектори лінійно залежні, то вони колінеарні.

Дійсно, нехай вектори а і b лінійно залежні, тобто рівність α1a+ α2b =0 виконується за умови, коли хоча б одне із чисел α1 і α2 не дорівнює нулю.

про колінеарні вектори будемо мати, що вектори а і b колінеарні.

29