Інтерференція світла Основні формули

1. Швидкість поширення світла в середовищі

де с – швидкість світла в вакуумі;

n – показник заломлення середовища.

2. Оптична довжина ходу променя

,

де l – геометрична довжина ходу променя в середовищі з показником заломлення n.

3. Оптична різниця ходу двох променів

4. Зв’язок оптичної різниці ходу з різницею фаз

де – хвильове число;

–довжина хвилі світла.

5. Умова максимуму інтерференції когерентних хвиль

,

де k = 1, 2, 3, ... – порядок максимуму;

довжина хвилі.

6. Умова мінімуму інтерференції когерентних хвиль

де k = 1, 2, 3,... – порядок мінімуму.

7. Ширина інтерференційної смуги в досліді Юнга

де L – відстань від екрана до щілин Юнга;

d – відстань між щілинами Юнга;

–довжина хвилі.

8. Оптична різниця ходу променів в тонких плівках:

а) відбиті промені

або

б) прохідні промені

або

де d – товщина плівки;

n – показник заломлення речовини плівки;

і₁ і і₂ – кути падіння і заломлення променів.

9. Радіуси світлих і темних кілець Ньютона:

а) відбиті промені

–світлі кільця;

–темні кільця;

б) прохідні промені

–cвітлі кільця;

–темні кільця,

де k = 1, 2, 3, ... – порядок кільця;

R – радіус кривизни плоско-oпуклої лінзи;

–довжина хвилі світла;

n – показник заломлення речовини, якою заповнено простір між лінзою і плоскопаралельною пластинкою.

Приклади розв’язування задач

Приклад 1. Відстань d між двома когерентними джерелами світла (=0,5 мкм) дорівнює 0,1 мм. Відстань b між сусідніми інтерференційними максимумами в середній частині екрана дорівнює 1 см. Визначити відстань L від джерела до екрана.

Дано:

d = 0,1 мм

= 0,5 мм

b = 1 cм

L -?

Рисунок 8

Розв’язування. З подібності трикутників S₁S₂C і О₁ОР знаходимо наближене відношення сторін (рис.8).

звідки

В точці P спостерігається k – й максимум інтерференції двох променів S₂k і S₁k, оптична різниця ходу між якими

.

З умови максимуму інтерференції двох променів маємо:

Тому

де у_k – відстань від 0 -го максимуму до k -го максимуму на екрані.

Для (k+1)- го максимуму

Ширина інтерференційної смуги

.

Звідки відстань від джерел світла до екрана

Підставимо числові значення

.

Відповідь: L = 2 м.

Приклад 2. На мильну плівку (n = 1,33), яка знаходиться у повітрі, падає перпендикулярно промінь білого світла. При якій найменшій товщині d плівки відбите світло з довжиною хвилі =0,55 мкм виявиться максимально підсиленим в результаті інтерференції?

Дано:

n= 1,33

 = 0,55 мкм

____________

d_min – ?

Рисунок 9

Розв’язування. З рис.9 видно, що інтерферують промені 1 і 2, які відбиті від верхньої і нижньої поверхонь плівки. Оптична різниця ходу цих променів дорівнює

,

де – враховано повернення фази хвилі на протилежну при відбиванні від межі з оптично більш густим середовищем;

r₂ = 2dn – оптичний хід променя в тонкій плівці.

Тому

.

Для максимуму інтерференції виконується співвідношення:

.

Прирівняємо оптичні різниці ходу

Звідки

d = (2k+1).

Якщо k = 0, то d = d_min

Підставимо числові значення

м.

Відповідь: d_min = 0,1 мкм

Приклад 3. Діаметри d_i i d_k двох світлих кілець Ньютона відповідно дорівнюють 4,0 і 4,8 мм. Порядкові номери кілець не визначались, але відомо, що між ними розміщені ще три світлих кільця. Кільця спостерігаються у відбитому світлі ( = 500 нм). Визначити радіус кривизни плоско-опуклої лінзи, взятої для досліду.

Д

ано:

d_i = 4,0 мм

d_k = 4,8мм

 = 500нм

k = i+3

___________

R – ?

Рисунок 10

Розв’язування. Співвідношення між радіусом сферичної поверхні плоско-опуклої лінзи R радіусом k-го кільця Ньютона і товщиною повітряного проміжку має такий вигляд:

R² = (R-d_k)² + r_k² або R² = R² - 2Rd_k + d_k² + r_k².

Нехтуючи за малістю d_k², знаходимо:

r_k² = 2R d_k .(1)

Аналогічно для і-го кільця:

r_i² = 2R d_i . (2)

Різниця ходу променів, які дають інтерференційну картину у випадку, коли промені падають перпендикулярно до системи, лінза – пластинка для максимумів інтерференції, виражається формулою:

2d_k + = k.

Звідки

d_k = (2k - 1) . (3)

Для і-го світлого кільця

d_і = (2і – 1). (4)

Підставимо (3) і (4) відповідно в (1) і (2)

r_k² = (2k – 1) .

r_i² = (2i – 1) . (5)

З урахуванням того, що k = і + 3, маємо

r_k² = (2і +5) . (6)

Від (6) віднімемо (5)

r_k² - r_i² = 3 R.

Звідки

.

Підставимо числові значення

R = м.

Відповідь: R = 1,17 м.

Приклад 4. Дві плоскопаралельні скляні пластинки утворюють клин з кутом  = . Простір між пластинками заповнено гліцерином (n = 1,47). На клин перпендикулярно до його поверхні падає промінь монохроматичного світла з довжиною хвилі  = 500 нм. В відбитому світлі спостерігається інтерференційна картина. Яке число N темних інтерференційних смуг вкладається на 1 см довжини клина?

Дано:

=

n = 1,47

 = 500 нм

b = 1 см

___________

N – ?

Рисунок 11

Розв’язування. Оптичні різниці ходу променів в точках розміщення k-го і (k + N) -го мінімумів (рис.11) дорівнюють:

₁ = 2d_kn - ;₂ = 2d_k+N n - .

Згідно з умовою мінімумів інтерференції запишемо

₁ = (2k +1) ;₂ = [2(k +N) +1] .

Або

(2k +1) = 2d_k n - звідки d_k = ;

= 2d_k+N n - звідки d_k+N = ;

З рисунка видно, що

tg  = ,

де d = d_k+N – d_k = _.

Тоді

tg  = .

Звідки

.

Для малих кутів tg  = .

Тому

.

Підставимо числові значення

= 8,55 1/см.

Відповідь: N = 8,55 1/см.

Приклад 5. Визначити переміщення дзеркала в інтерферометрі Майкельсона, якщо інтерференційна картина зміcтилась на m = 100 смуг. Довжина хвилі світла 546 нм.

Дано:

m

=100

 = 456 нм

___________

L – ?

Рисунок 12

Розв’язування. Переміщення дзеркала на відстань відповідає зміні різниці ходу променів на одну смугу (рис.12).

Таким чином, можна записати:

.

Підставимо числові значення

м.

Відповідь: L = 27,3  10^-6 м.