2 Формалізація задачі. Вхідні та вихідні змінні. Побудова математичної моделі екосистеми

2.1 Модель поширення забруднення підземних вод за моделлю Фелпса-Стрітера

Найважливішою характеристикою якості води є концентрація розчиненого в ній кисню, необхідного елементу життєдіяльності водоростей і рослин. Ця величина зветься біохімічна потреба в кисні (БПК) і чисельно виражається кількістю кисню в мл/л або г/ м³. У моделі Фелпса-Стрітера концентрація розчиненого кисню та органічних відходів взаємопов'язані. Розкладання відходів відбувається під впливом бактерій, що викликають хімічну реакцію з використанням розчиненого у воді кисню [6].

Класичними результатами у сфері математичного моделювання кисневого режиму і динаміки органічної речовини є дослідження Фелпса і Стрітера, які для опису динаміки БПК і розчиненого кисню (РК) запропонували систему рівнянь:

(2.1)

(2.2)

де – концентрація органічної речовини, що вимірюється в одиницях кисню;

– концентрація розчиненого у воді кисню;

– константа швидкості біохімічного окислювання (оксидації);

– константа (коефіцієнт) аерації, що залежить від температури;

– концентрація насиченого кисню у воді.

Математична модель описує кінетичні трансформації у воді легкоокислювальної органічної речовини і динаміку розчиненого у воді кисню без урахування процесів розбавлення і водообміну (конвективної дифузії) [7].

Якщо система (екосистема) відкрита, тобто ззовні у неї (річка, озеро, водосховище) надходить органічна речовина зі швидкістю, то динаміку розчиненого у воді кисню (РК) і органічної речовини (БПК) описують такою системою рівнянь:

(2.3)

(2.4)

Моделювання переносу і окислювання органічної речовини в поверхневих водах здійснюють за допомогою загальних диференціальних рівнянь, які враховують не тільки адвективний і дифузійний перенос речовини в водному потоці, а й інші фізико-хімічні та біологічні процеси.

Багатокамерна двокомпонентна модель ґрунтується на описі динаміки БПК і РК за допомогою системи звичайних диференціальних рівнянь (нульмірна модель). Приймемо умову, що концентрація РК і БПК не змінюється в кожній і-й камері, яка характеризується певними морфометричними (геометричними), гідрологічними і гідрофізичними параметрами в межах верхнього (поверхневого) і нижнього (придонного) шару води. Отже, вважатимемо, що верхній шар води водного об’єкта поділений на ділянок (камер), а нижній шар — наділянок (камер).

При визначенні змісту і структури функцій та необхідно враховувати такі фактори: інтенсивність первинної біопродукції (фотосинтез), споживання киснюпри диханні водоростей та інших гідробіонтів, витрата кисню на хімічне окислення, споживання кисню бентосними організмами та його витрата на хімічне окислення речовин, що накопичуються в донних відкладах. Усі ці фактори при моделюванні можна врахувати, якщо ввести їх кількісні характеристики: питому (на одиницю об’єму води) первинну продукцію кисню при фотосинтезі фітопланктону , фітобентосу та заглиблених вищих водних рослин ; питому швидкість споживання кисню при диханні водоростей (рослин) та водних тварин ; питому інтенсивність (швидкість) споживання кисню при хімічному окисленні розчинних у воді та змулених речовин; питому швидкість споживання кисню при хімічному розкладанні (окисленні) речовин в донних відкладах [7].

Питома інтенсивність (потік, швидкість) фотосинтезу фітопланктону і фітобентосу з підвищенням температури води зростає, досягаючи в певному інтервалі температур найбільшого значення, а потім, з подальшим і підвищенням температури, починає спадати. Збільшення концентрації біомаси фітопланктону до деякої критичної величини зменшує інтенсивність його продуктивності внаслідок затемнення та інших процесів внутрівидової конкуренції. Кількісне оцінювання утворення кисню за рахунок фотосинтезу і визначення впливу життєдіяльності різких видів водних організмів (гідробіонтів) на кисневий режим водних об’єктів є дуже складними при математичному моделюванні процесів формування якості води, зокрема кисневого режиму. Ці питання потребують додаткового детального вивчення, тому потрібно з'ясувати можливість і доцільність урахування згаданих факторів при розрахунку самоочисної спроможності (СС) різних водних об’єктів, особливо при розрахунку СС в малозабруднених водоймах, де процеси фотосинтезу можуть відігравати вирішальне значення в оновленні розчиненого у воді кисню.

Функція описує додаткові джерела та стоки органічної речовини, які виникають за рахунок внутрішньоводоймних процесів: відмирання фітопланктону та інших гідробіонтів; споживання (виїдання) органіки гідробіонтами, окрім бактеріального розкладання органічних речовин; вимивання органічної речовини з донних відкладів, наприклад, при скаламучуванні.

БПК є тільки одним з важливих показників забруднення води органічними речовинами, оскільки воно нееквівалентне загальній концентрації органічних сполук присутніх у воді.

Такій концентрації еквівалентна Омічна потреба води в кисні (ХПК) тільки у тому разі, коли ця органічна речовина окислюється біхроматом. Тому БПК становить лише частину ХПК: для одних органічних речовин така частина може бути більшою, для інших – меншою. Якщо для побутових стічних вод ця частина майже не змінюється (коливається у невеликому діапазоні), то для промислових стічних вод може коливатися в межах від кількох відсотків до величин, наближених до 100%. Для речовин, які не здатні до біохімічного окислення (біохімічно жорстких), БПК дорівнює нулю при досить великих ХПК, наприклад при БПК = 0 для пікринової кислоти ХПК і 1283/л. Отже, БПК не можна розглядати як еквівалент концентрації забруднювальних речовин. БПК свідчить тільки про здатність органічних речовин, що перебувають у воді, до біохімічного окислення та про зниження концентрації розчиненого у воді кисню.

Біохімічне окислення органічних речовин поділяють на дві фази. У першій фазі відбувається окислення вуглецю до та водню до, у другій – переважно окислення амонійних сполук до нітратів. Тому, як правило, за допомогою БПК характеризують першу фазу біохімічного окислення органічних речовин, яку пов’язують з утвореннямі. Оскільки БПК характеризує частку органічної речовини, яку використовують мікроорганізми (бактеріопланктон) для своїх енерге­тичних потреб (на дихання), то на утворення нових клітин (пластичні цілі) вони можуть використати кількість субстрату, що дорівнює різниці між ХПК і БПК [7].