2.4. Правило Лопиталя

При вычислении пределов мы часто сталкиваемся с неопределенностями вида или . Следующая теорема позволяет их раскрыть, используя понятие производной.

Теорема. (Правило Лопиталя). Пусть функции и определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки (кроме, может быть, самой точки ), причем . Кроме того (или =¥).

Тогда из существования следует существование

.

Пример 1. Найти .

Решение.

.

Пример 2. Найти .

Решение. .

Замечание. Неопределенности вида и сводятся к неопределенностям вида или элементарными преобразованиями.

Пример 3. Найти .

Решение. ==

=.

Пример 4. Найти

Решение. =

= .

Замечание. Неопределенности вида ,,приводятся к неопределенностям вида или с помощью тождества .

Пример 5. Найти .

Решение. Заметим, что . Воспользуемся формулой: . Тогда,

2.5. Аудиторные задания и задания на повышение рейтинга

I. Найти дифференциалы функций:

1. 2. 3.

4. 5.

II. Найти дифференциалы первого и второго порядков функций:

1. 2. 3.

III. Сравнить приращение и дифференциал функций:

1. 2. 3. при и

IV. Вычислить приближенно с помощью дифференциала:

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

V. Найти пределы функций, используя правило Лопиталя:

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.;

10. 11. 12.

13. 14. 15.

3. Исследование поведения функций и построение графиков

3.1. Необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции

Определение. Функция возрастает (убывает) на некотором интервале, если для любых точек из этого интервала ().

Возрастающие и убывающие функции объединяются общим названием – монотонные функции.

Теорема. (Необходимое условие возрастания (убывания) функции). Если дифференцируемая на функция возрастает (убывает), то ее производная () для .

Теорема. (Достаточное условие возрастания (убывания) функции). Если непрерывная на функция имеет положительную (отрицательную) производную на , то эта функция возрастает (убывает) на .

Пример 1. Найти интервалы монотонности функции .

Решение. .Очевидно, что при и при , т.е. функция убывает на интервалеи возрастает на интервале, где– абсцисса вершины параболы.

Замечание. Необходимое условие монотонности более слабое, т.е. в отдельных точках производная может равняться нулю.

Пример 2. Найти интервалы монотонности функции .

Решение. .Очевидно, что при . Припроизводная обращается в нуль. Функция же монотонно возрастает на всей числовой оси.

3.2. Признаки существования экстремумов функции

Определение. Функция имеет в точке максимум (минимум), если существует такая окрестность точки , что для ,, выполняется неравенство ().

Максимумы и минимумы объединяются общим названием – экстремумы функции.

Экстремум функции часто называют локальным экстремумом (локальный максимум и локальный минимум).

Теорема. (Необходимый признак существования экстремума функции).

В точке экстремума непрерывной функции производная функции либо равна нулю, либо функция не дифференцируема.

Замечания. 1. Непрерывная функция может быть в точках экстремума и недифференцируемой. Например, для функции точка минимумане является точкой дифференцируемости (см. рис. 3.). Такая точка называетсяугловой.

Рис. 3 Рис. 4

Для функции точка минимуматак же не является точкойдифференцируемости (см. рис. 4.). Такая точка называется точкой возврата. Касательная к графику функции в этой точке вертикальна.

2. Необходимое условие существования экстремума не является достаточным. Например, для функции производная , но в точке нет экстремума.

Определение. Критическими (или стационарными) называются точки, в которых выполнен необходимый признак существования экстремума, т.е. производная либо равна нулю или не существует.

Замечание. Не всякая критическая точка является точкой экстремума.

Пример 1. Найти критические точки функции и убедиться в наличии или отсутствии экстремума в этих точках.

Решение.Производная . В точке и действительно, в точке функцияимеет экстремум (см. рис.5).

Рис. 5

Пример 2. Найти критические точки функции и убедиться в наличии или отсутствии экстремума в этих точках.

Решение. Функция возрастает на всей числовой оси по свойству степенной функции.Производная в точке , но экстремума в точке нет (см. рис. 6).

Рис. 6

Пример 3. Найти критические точки функции и убедиться в наличии или отсутствии экстремума в этих точках.

Решение. Функция также возрастает на всей числовой оси.Производная при не существует, т.е. , но экстремума в этой точке нет (см. рис. 7).

Рис. 7