1.9. Дифференцирование неявных функций

Определение. Функция называется неявной функцией от , если она задана уравнением вида , не разрешенным относительно .

Для нахождения производной нужно продифференцировать по обе части равенства , учитывая, что есть сложная функция от . Затем разрешить полученное равенство относительно искомой производной , которая, как правило, будет зависеть от и , т.е., .

Пример 1. Найти уравнение касательной к окружности в точке , если центр находится в начале координат .

Решение. Уравнение окружности является неявной функцией. Найдем производную этой функции:

Þ .

Уравнение касательной имеет вид: =.

В точке : .

Пример 2. Найти производную функции , заданной уравнением .

Решение. Логарифмируем обе части уравнения, а затем дифференцируем, считая сложной функцией от .

Так как сложная функция, то по правилу дифференцирования сложной функции имеем:

Замечание. Для нахождения второй производной неявной функции нужно продифференцировать найденную первую производную еще раз по , продолжая считать функцию , зависящей от . В выражение второй производной при этом войдут , и , но, так как известно, то, подставляя его в , найдем окончательное значение , зависящее только от и . Аналогично поступаем при нахождении и т.д.

Пример 3. Пусть (см. пример 1). Найти .

==.

1.10. Дифференцирование функций, заданных параметрически

Определение. Уравнения вида , гдепараметр, называютсяпараметрическими уравнениями.

Теорема. Если и дифференцируемы по и , то функция дифференцируема по и

(1)

Полученная производная является функцией от параметра .

Применяя вторично правило дифференцирования функции, заданной параметрически, получим:

. (2)

Аналогично поступаем при нахождении и т.д.

Пример 1. Найти первую и вторую производные функции .

Решение. . Используя формулу (1), имеем:

.

; . Подставляя в формулу (2) найденные производные, получаем:

1.11. Аудиторные задания и задания на повышение рейтинга

I. Найти производные следующих функций:

1. 2. 3.

4. 5.6.

7. 8.9.

10. 11.12.

13. 14.15.

16. 17.18.

19. 20.21.

22. 23.24.

25. 26.27.

28. 29.30.

II. Найти производные функций и вычислить их значения при :

1. 2.

3. 4.

5. 6.

III. Найти производные следующих сложных функций:

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

13. 14. 15.

16. 17. 18.

19. 20. 21.

22. 23.

IV. Найти производные высших порядков следующих функций:

1. ?; 2. ?;

3. ?; 4. ?;

5. ?; 6. ?.

V. Применив логарифмическое дифференцирование, найти производные следующих функций:

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

9. 10. 11.

VI. Найти производные данных неявных функций:

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

VII. Найти производные функций, заданных параметрически:

1. 2. 3.

4. 5. 6.

2. Дифференциал функции. Свойства дифференцируемых функций

2.1. Дифференциал функции

Рассмотрим дифференцируемую в точке функцию . Из существования производной = следует, что , где – бесконечно малая функция при ®0, т.е. =0. Тогда полное приращение функции в точке равно .

Определение. Главная, линейная относительно , часть полного приращения функции называется дифференциалом функции в точке и обозначается символом . Для функции . Откуда и, следовательно, дифференциал функции .

Пример 1. Найти дифференциал функции

Решение.

Пример 2. Найти дифференциал функции

Решение.

Пример 3. Найти дифференциал функции в точке .

Решение. ,

.

Выясним геометрический смысл дифференциала.

Рис. 2.

На рис. 2 , – касательная с угловым коэффициентом . Из прямоугольного треугольника следует равенство: . Таким образом, дифференциал функции в точке равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой .

Теорема. (Инвариантность формы дифференциала). Дифференциал сложной функции , у которой , имеет такой же вид , как и в том случае, когда аргумент является независимой переменной.