1.5. Таблица производных основных элементарных функций

Пусть a; c; n – const, тогда

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

Пример 1. Найти производную функции .

Решение.

Пример 2. Найти производную функции .

Решение.

Пример 3. Найти производную функции

Решение

Пример 4. Найти производную функции .

Решение.

Пример 5. Найти производную функции и вычислить ее частное значение при .

Решение.

1.6. Производная обратной и сложной функций

Теорема. (Правило дифференцирования обратной функции). Пусть функция дифференцируема в точке, причеми существует обратная функцияв окрестности соответствующей точки. Тогда существует производная.

Определение. Если , где, тоназываетсясложной функцией от или суперпозицией функций и обозначается.

Теорема. (Правило дифференцирования сложной функции). Пусть и– две дифференцируемые функции, причем область значений второй функции входит в область определения первой. Тогда производная сложной функциипо аргументуравна производной функциипо промежуточному аргументу, умноженной на производную промежуточного аргументапо независимой переменной, то есть, .

Таблица производных сложных функций

Пусть – сложная функция и n, a – const, тогда

Пример 1. Найти производную функции .

Решение.

Пример 2. Найти производную функции .

Решение.

Пример 3. Найти производную функции .

Решение

Пример 4. Найти производную функции .

Решение.

Пример 5. Найти производную функции .

Решение.

Пример 6. Найти производную функции .

Решение.

1.7. Производные высших порядков

Если задана дифференцируемая функция , то ее производная также является функцией аргумента . Можно ставить вопрос о существовании ее производной.

Определение. Производную от производной данной функции, если она существует, называют производной второго порядка или второй производной от данной функции и обозначают символом .

Таким образом, . Ввиду такого определения, производную называют производной первого порядка или первой производной.

Механический смысл второй производной заключается в следующем: вторая производная от пути по времени , как производная скорости , есть скорость изменения скорости движения, т.е. ускорение ; =.

По аналогии с введением производной второго порядка можно ввести понятие производной любого порядка.

Определение. Производной -го порядка от данной функции называется производная от производной ()-го порядка этой же функции.

Для обозначения производных более высокого порядка используются арабские цифры в скобках или римские цифры, например, илии т. д.

Пример 1. Найти , если.

Решение.

.

Пример 2. Пусть . Найти -ую производную .

Решение. , , ,..., .

1.8. Логарифмическое дифференцирование

Определение. Логарифмической производной функции называется производная от натурального логарифма модуля этой функции, т.е. .

Логарифмическое дифференцирование применяется:

1. если заданная функция содержит логарифмирующиеся операции (умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня);

2. для нахождения производной показательно-степенной функции .

Схема метода логарифмического дифференцирования

Пусть , тогда:

1. логарифмируем обе части уравнения по основанию , т.е. ;

2. используя свойство логарифмов , получим ;

3. дифференцируем обе части последнего равенства, учитывая, что есть сложная функция от, аu(x) и v(x) – элементарные функции от x.

4. так как , следовательно,

.

Пример 1. Пусть . Найти производную .

Решение. 1); 2). ;

3) . ;

4) Так как , следовательно, .

Пример 2. Найти производную , если .

Решение. 1) 2)

3)

4) Так как , следовательно,