Модуль 3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

1. Производная функции

1.1. Задачи, приводящие к понятию производной

1. Рассмотрим движение материальной точки по прямой в одном направлении по закону , гдевремя, апуть, пройденный за время. Отметим некоторый момент времении обозначим=(). Требуется определить скоростьв момент времени.

Рассмотрим другой момент времени . Ему соответствует путь. Тогда за промежуток времениточка прошла путь. Очевидно, что средняя скорость движения за времяравна/. Тогда скоростью в данный момент времени назовем предел средней скорости при®0, т.е.

.

2. Пусть дан тонкий прямолинейный неоднородный стержень длины . Определим плотность стержня в любой точке. Обозначим черезмассу отрезка стержня между точками с координатами 0 и. Тогда- функция от, т.е.=(). Фиксируя точкуи переменную точку+, найдем среднюю плотность стержня на отрезке от точки до точки +как отношениеD/, гдеD(+). Плотностьюстержня в точкеявляется пределом средней плотности при®0, т.е.

.

Рассмотренные выше и многие другие задачи приводят нас к нахождению пределов одного типа. Абстрагируясь от конкретного содержания задачи, приведем определение.

Определение. Производной функции в точкеназывается предел отношения приращения функциив этой точке к вызвавшему его приращению аргументапри произвольном стремлениик нулю.

Для обозначения производной используют символы . Из определения следует, что.

Пример. Пусть задана функция и точка . Найти.

Решение. .; =6.

В задаче о движении точки , т.е. скорость движения материальной точки, есть производная путипо времени, а в задаче о плотности стержня.

1.2. Геометрический смысл производной

Рассмотрим график непрерывной функции и точкуна нем (pис.1). Проведем через точку и некоторую точку , лежащую на графике, секущую.

Рис. 1

Из свойств прямоугольного треугольника следует, что угловой коэффициент этой секущей, где– угол секущей с осью. Прив силу непрерывности функцииее приращение. Поэтому точка, двигаясь по графику, приближается к точке, а секущая стремится занять свое предельное положение, называемое касательной прямой. При этом, где– угол образованный касательной с осьюи, значит,. Откуда следует, что.

Итак, значение производной функции в точкеравно угловому коэффициенту касательной к графику этой функции в точке с абсциссой.

В этом заключается геометрический смысл производной.

1.3. Геометрические приложения производной

1. Зная геометрический смысл производной, мы можем записать уравнение касательной к графику функций в точке:

×

2. Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно к касательной называетсянормалью к графику функции в этой точке. Ее уравнение, очевидно, имеет вид:

.

3. Углом j между кривыми и в их общей точке пересечения называется угол между касательными к этим кривым в точке и, значит, находится из формулы:

.

Пример. В какой точке кривойкасательная перпендикулярна к прямой? Записать ее уравнение.

Решение. . Угловой коэффициент прямой равен. Значит, угловой коэффициент касательной равен. С другой стороны, в точкеон равен=. Откуда,,, а уравнение касательной в точкеимеет вид: .

1.4. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью. Правила дифференцирования

Определение. Процесс нахождения производной называется дифференцированием.

Определение. Функция, имеющая в некоторой точке конечную производную, называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая в каждой точке некоторого интервала, называется дифференцируемой на этом интервале.

Теорема. Если функция дифференцируема в точке, то она и непрерывна в этой точке.

Теорема. Если функции идифференцируемы в точкеи, то сумма, разность, произведение и частное этих функций (последнее, при условии, что) также дифференцируемы в этой точке. При этом имеют место следующие правила дифференцирования:

1. 2.3.

4. 5.6.

Теорема. Производная постоянной функции равна нулю, то есть, если с – постоянная функция, то .