I. Исследование с помощью элементарной математики

1. Область определения .

2. Область изменения функции .

3. и

, т.е. функция общего вида.

4. Функция алгебраическая, значит, она непериодическая.

5. Если , то, значит, график функции пересекает осьв точке. Если, то, значит, график функции пересекает осьв точке.

6. Для определения интервалов знакопостоянства отметим на числовой прямой нуль функции, т.е. . Определим знак функции в каждом интервале:,(см. рис. 8). Следовательно, на интервале график функции расположен ниже оси , а на интервале выше оси .

Рис.8

II. Исследование с помощью теории пределов

7. Так как функция элементарная, то ее область непрерывности совпадает с областью определения . Исследование на разрыв в точке и существование вертикальной асимптоты приведено в примере п. 3.3., т.е. мы установили, что– вертикальная асимптота.

8. В том же примере п. 3.3. было установлено, что горизонтальных асимптот функция не имеет, а прямая является правой и левой наклонной асимптотой.

III. Исследование с помощью производной

9. Интервалы монотонности и точки экстремума найдены в примере п. 3.2.

10. Интервалы выпуклости графика функции и точки перегиба найдены в примере п. 3.4.

IV. Нахождение дополнительных точек, уточняющих график

Для более точного построения можно в каждом из интервалов выбрать дополнительную точку, вычислить в ней значение функции и нанести на рисунок.

V. Построение графика функции

Рис. 9

Замечание. Иногда удобно таблицы 1 и 2 совместить в одной таблице.

Пример 2. Рассмотрим функцию затрат на производство единицы продукции: . Средние затраты на выпуск единицы продукции . Построить график функции средних затрат. Оценить число выпуска единиц продукции, минимизирующих средние затраты (см. п. 3.3).

Решение. Исследуем функцию средних затрат и построим график.

I. Исследование с помощью элементарной математики

1. Область определения .

2. Область изменения функции .

3.. . Следовательно, функция общего вида.

4. Функция непериодическая.

5. Не пересекает оси координат.

6. На интервале функция положительная, и ее график расположен выше оси .

II. Исследование с помощью теории пределов

7. Функция элементарная, значит, область непрерывности совпадает с областью определения . Исследуем поведение функции в граничной точке . . Отсюда, точка - точка разрыва второго рода и прямаявертикальная асимптота.

8. Прямая правая наклонная асимптота (см. п. 3.3).

III. Исследование с помощью производной

9. критическая точка. не существует при .

Таблица 3

	0	(0,5)	5
	Не сущ.		0	+
	Не сущ.		12
			min

Таким образом, выпуск 5 единиц продукции минимизирует функцию средних затрат.

10. , не существует при .

Таблица 4

	0
	не сущ.	+
	не сущ.

IV. Нахождение дополнительных точек, уточняющих график

V. Построение графика функции

Рис. 10

3.6. Наибольшие и наименьшие значения функции

Пусть – непрерывная функция на замкнутом интервале . Тогда достигает свои наибольшие и наименьшие значения либо на границах интервала, либо внутри него. Внутри него это могут быть, очевидно, лишь критические точки. Отсюда следует правило нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на сегменте:

1. Находим производную .

2. Находим на критические точки функции, в которых или не существует.

3. Вычисляем значение функции в критических точках и на концах интервала.

4. Выбираем из полученных значений функции наибольшее и наименьшее.

Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке .

Решение.

1.

2. т.е.,, следовательно,– критические точки. Все эти точки принадлежат .

3. Вычислим значение функции в критических точках и на концах интервала.

.

4. ,.

Пример 2. Требуется изготовить открытый цилиндрический бак вместимостью . Стоимость 1 м² материала, из которого изготовляется дно бака, составляет руб., а стоимость 1 м² материала, идущего на стенки бака – руб. При каком отношении радиуса дна к высоте бака затраты на материал будут минимальными?

Решение. Составим функцию объема, зависящую от радиуса основания и высоты бака:. Тогда. Так как площадь основания, а боковая поверхность, то общая стоимость затрачиваемого материала. Выразим функциюкак функцию одной переменной:. Эта функция является непрерывной для любого. Найдем ее критические точки:

; ; Тогдаи.

Таким образом, искомый радиус .

Найдем искомое отношение .

Замечание. Одним из важнейших приложений дифференциального исчисления является формула Тейлора, которая предлагается для самостоятельного изучения.