Правило нахождения точек перегиба функции

1. Найти и .

2. Определить точки подозрительные на перегиб. Для этого нужно решить уравнение = 0 и найти точки, в которых не существует, т.е. найти критические точки второго рода.

3. Исследовать знак в окрестности критических точек и сделать вывод об интервалах выпуклости и наличии точек перегиба.

4. Вычислить значения функции в точках перегиба, если они имеются.

Пример 1. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции .

Решение.

1. Исследование проводится аналогично исследованию (см. п.3.2) на существование точек экстремума. Имеем, . Найдем вторую производную

2. Найдем точки, в которых выполнено необходимое условие существования точек перегиба.

= 0 Û = 0, откуда = 0.

не существует при условии = 0, откуда находим . Следовательно, = 0 и точки подозрительные на перегиб.

3. Исследуем знак в окрестности этих точек.

Удобно при исследовании использовать таблицу:

Таблица 2

		0	(0,1)		1
		0	+		не сущ.	+
	Ç	0	È		не сущ.	È
		перегиб

Знаки " + " и " " означают положительность и отрицательность второй производной на соответствующем интервале. Дуги Ç и È означают выпуклость вверх (выпуклость) и вниз (вогнутость) графика функции на соответствующем интервале. Итак, график исследуемой функции выпуклый вверх на интервале и выпуклый вниз на интервалах (0,1) и _. Точка перегиба = 0.

4. .

3.5. Общая схема исследования функций и построения графиков

I. Исследование с помощью элементарной математики

1. Найти область определения функции ().

2. Найти область изменения функции ().

3. Проверить функцию на четность или нечетность (функция четная, если для , нечетная если , если не выполняется ни то, ни другое равенство, то функция общего вида, график четной функции симметричен относительно оси , нечетной – относительно начала координат).

4. Проверить функцию на периодичность (функция периодическая, если существует такое число , что для справедливо равенство , наименьшее из таких чисел называется периодом функции (обычно на периодичность исследуются только функции, содержащие тригонометрические функции. Алгебраические и другие функции периода не имеют)).

5. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

6. Определить интервалы знакопостоянства.

II. Исследование с помощью теории пределов

7. Исследовать функцию на непрерывность, установить характер точек разрыва. Найти вертикальные асимптоты.

8. Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные или наклонные асимптоты.

III. Исследование с помощью производной

9. Найти интервалы монотонности функции и точки экстремума.

10. Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.

IV. Нахождение дополнительных точек, уточняющих график

V. Построение графика функции

Построение графика проводится по следующей схеме:

а) строим декартову систему координат на плоскости;

б) выбираем масштаб, соответствующий вычисленным значениям;

в) наносим на график точки пересечения графика функции с осями координат;

г) проводим пунктирной линией вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты;

д) наносим на график точки экстремума и перегиба;

е) строим график функции, используя таблицы 1 и 2.

Пример 1. Провести полное исследование и построить график функции . (см. примеры п. 3.2 , п. 3.3 и п. 3.4).

Решение.