Проинтегрировав левую и правую части уравнения (3.10), получим
,
(3.11)
где С1 – некоторая постоянная интегрирования, значение которой можно найти, используя второе начальное условие.
Так как в начальный момент времени координата тела х = х0, то подставляя значение t = 0 в выражение (3.11), получим:
.
Тогда закон движения примет вид:
.
(3.12)
5. Перепишем уравнения (3.4), (3.8) и (3.12) с учетом данных условия задачи:
;
;
.
6
.
Построим графики зависимостейх =х(t),
Vх = Vх(t)
и ах = ах(t)
для отрезка времени 0 ≤ t ≤ 5 с
(рисунок 3.1):
Задача 2:
Тело массой m = 0,1 кг движется вдоль оси Ох под действием силы Fx = – kх, где k = 0,1 Н/м. Начальные условия движения: х0 = 1 м, V0х = 1 м/с.
Р
ешение:
1. Запишем дифференциальное уравнение движения тела (второй закон Ньютона):
.
(3.13)
2. Найдем закон движения тела х =х(t):
Разделим обе его части уравнения (3.13) на m:
.
(3.14)
Уравнение (3.14) представляет собой дифференциальное уравнение гармонических колебаний тела, решением которого (используется готовое решение уравнения) является выражение
,
где
.
(3.15)
3. Найдем закон изменения скорости Vх = Vх(t) и закон изменения ускорения ах = ах(t):
Учитывая определения скорости и ускорения и продифференцировав уравнение (3.15), получим уравнения Vх = Vх(t) и ах = ах(t):
.
(3.16)
.
(3.17)
Выражения (3.15), (3.16), (3.17) содержат в себе две константы (А и ), для нахождения которых воспользуемся заданными начальными условиями.
Так как в начальный момент времени координата тела х = х0 и проекция скорости тела Vx = V0x, то подставляя значение t = 0 в выражения (3.15) и (3.16), получим:
.
(3.18)
Разделив
почленно второе уравнение системы
(3.18) на первое и, учитывая, что
,
найдём постоянную:
.
(3.19)
Подставляя выражение (3.19) в первое уравнение системы (3.18), найдём постоянную А:
.
Для упрощения дальнейших действий значения величины ω, а также постоянных А и , вычислим отдельно:
;
;
.
4. Перепишем уравнения (3.15), (3.16) и (3.17) с учетом данных условия задачи и найденных значений ω, А и :
;
;
.
5. Построим графики зависимостей х =х(t), Vх = Vх(t) и ах = ах(t) для отрезка времени 0 ≤ t ≤ 5 с (рисунок 3.2):
Задача 3:
Тело массой m = 0,1 кг движется вдоль оси Ох под действием силы Fx = – kVx2, где k = 0,1 Н·с/м. Начальные условия движения: х0 = 1 м, V0х = 1 м/с.
Р
ешение:
1. Запишем дифференциальное уравнение движения тела (второй закон Ньютона):
.
(3.20)
2. Найдем закон изменения скорости Vх = Vх(t):
По определению ускорения
,
(3.21)
тогда, подставляя выражение (3.21) в уравнение (3.20), получим:
.
(3.22)