3 Решение обратной задачи динамики

3.1 Краткие теоретические сведения

Динамика – это раздел механики, который изучает движение тел с учетом взаимодействий между телами.

В динамике рассматриваются:

• прямая задача: по известному закону движения (т.е. зависимости радиус-вектора тела от времени), зная массуm тела, необходимо найти действующую на него результирующую силу (решается дифференцированием);

• обратная задача: зная результирующую силу, действующую на тело, и его массуm, а также начальные условия (радиус-вектор и начальную скорость), необходимо найти закон движения тела(решается интегрированием).

В случае движения тела вдоль одной координатной оси (например, оси Ох) решением обратной задачи динамики являются уравнения х =х(t), V_х = V_х(t) и а_х = а_х(t), которые находятся путем решения дифференциального уравнения, получаемого из второго закона Ньютона, с учетом начальных условий х₀ и V₀:

,

, (3.1)

где m – масса тела, кг;

x – координата тела, м;

V_х – проекция скорости тела на ось Ох, м/с;

t – произвольный момент времени, с;

– результирующая сила, действующая на тело, Н.

В зависимости от характера силы, действующей на тело, дифференциальное уравнение (3.1) может иметь различные пути решения.

3.2 Пример выполнения задания

Для тел, указанных в задачах, записать дифференциальное уравнение в виде (3.1), решить его с учётом начальных условий и получить закон движения тела в виде х =х(t). Установить также вид зависимостей от времени проекции скорости и проекции ускорения на ось Ox: V_x(t) и a_x(). Построить графики зависимостей х =х(t), V_х = V_х(t) и а_х = а_х(t) для отрезка времени 0 ≤ t ≤ 5 с.

Задача 1:

Тело массой m = 0,1 кг движется вдоль оси Ох под действием силы F_x = kt³, где k = 0,1 Н/с³. Начальные условия движения: х₀ = 1 м, V_0х = 0.

Решение:

1. Запишем дифференциальное уравнение движения тела (второй закон Ньютона):

. (3.2)

2. Найдем закон изменения ускорения а_х = а_х(t):

По определению ускорения

, (3.3)

тогда, подставляя выражение (3.3) в уравнение (3.2), получим закон изменения ускорения

. (3.4)

3. Найдем закон изменения скорости V_х = V_х(t):

По определению ускорения

, (3.5)

тогда, подставляя выражение (3.5) в уравнение (3.4), получим

. (3.6)

Проинтегрировав левую и правую части уравнения (3.6), получим

, (3.7)

где С – некоторая постоянная интегрирования, значение которой можно найти, используя одно из начальных условий.

Так как в начальный момент времени проекция скорости тела V_x = V_0x, то, подставляя значение t = 0 в выражение (3.7), получим:

.

Тогда закон изменения скорости примет вид:

. (3.8)

4. Найдем закон движения тела х =х(t):

По определению скорости

, (3.9)

тогда, подставляя выражение (3.9) в уравнение (3.8), получим

. (3.10)