1 Обработка результатов косвенных измерений

1. Краткие теоретические сведения

Косвенные измерения – это измерения, при которых нахождение искомой величины ведется на основе функциональной зависимости между этой величиной и величинами, найденными в результате прямых измерений.

Алгоритм обработки результатов косвенных измерений

Пусть y  измеряемая величина, которая является функцией величин х₁, х₂, … , х_n, найденных в ходе n прямых измерений:

.

Тогда для обработки результата косвенного измерения величины y необходимо:

1. Обработать результаты прямых измерений, задав некоторое значение доверительной вероятности α (например, α = 0,95):

х₁= (х₁±х₁);

х₂= (х₂±х₂);

…

х_n= (х_n±х_n).

2. Рассчитать среднее значение величины yкак функцию величин <x₁>, <x₂>, ..., <x_n>:

.

3. Рассчитать полуширину доверительного интервала yпо формуле (число слагаемых в формуле равно числу переменных):

,

где  частная производная функции , т. е. значение частных производных нужно вычислять, используя средние значения величин <x₁>, <x₂>, ..., <x_n>.

4. Записать результат измерений в виде y= (y±y) ед. изм.,= 0,95.

5. Указать относительную погрешность

.

1.2. Пример выполнения задания

Задача:

Проводник длиной ℓ = (60,0 ± 0,1) м и площадью сечения S = (0,34 ± 0,01) мм² имеет сопротивление R = 3,0 Ом, определённое с относительной погрешностью δR = 2%. Определить (с учётом погрешности) удельное сопротивление проводника.

Решение:

Удельное сопротивление проводника рассчитывается по формуле

,

т.е. измеряемая величина  является функцией трёх переменных R, S и ℓ

 = f (R, S, ℓ).

Для решения задачи воспользуемся алгоритмом обработки результатов косвенных измерений.

1. Обработаем результаты прямых измерений. Из условия задачи следует, что

<ℓ> = 60,0 м; ℓ = 0,1 м; <S> = 0,34·10^–6 м²; S = 0,01·10^–6 м²;

<R> = 3,0 Ом; R = <R>·δR = 3,0 Ом·0,02 = 0,06 Ом.

2. Найдем среднее значение величины < > по формуле :

(Ом·м).

3. Найдём полуширину доверительного интервала Δ по формуле

.

Для этого найдём частные производные функции < >:

;;.

Тогда

где  R,  S,  ℓ – относительные погрешности.

(Ом·м).

4. Запишем результат измерения:

 = (1,7 ± 0,1)·10^–8 Ом·м,  = 0,95.

5. Рассчитаем относительную погрешность по формуле :

.

2 Графическое представление результатов измерений

2.1 Краткие теоретические сведения

Целью многих естественнонаучных, социологических и экономических исследований является выяснение взаимосвязи каких-либо двух физических величин. В таких случаях результаты измерений следует представить графически. При построении графиков следует руководствоваться следующими правилами:

1. График строят на миллиметровой бумаге или бумаге в клетку.

2. Значение аргумента (независимой переменной) следует откладывать по оси абсцисс (горизонтальной оси), а значение функции (зависимой переменной) – по оси ординат (вертикальной оси).

3. На концах координатных осей необходимо указать буквенные обозначения откладываемых величин и через запятую единицы их измерений.

4. Перед построением графика следует рассчитать масштаб каждой оси. При выборе масштаба необходимо руководствоваться следующими требованиями:

1) график функции должен занимать всю площадь, ограниченную координатными осями;

2) начало отсчёта для каждой оси выбирается так, чтобы оси соответствовали областям изменения откладываемых величин (т.е. начало координат может соответствовать целочисленной величине, несколько меньшей наименьшего значения откладываемой величины);

3) масштабные деления наносятся на координатные оси через каждые 1 – 2 см; значение масштабного деления должно быть кратным 1, 2, 4, 5 или 10.

Выбор масштаба по оси абсцисс не зависит от масштаба по оси ординат и наоборот. Для обозначения масштаба на осях нужно отметить круглые значения измеряемой величины, а не те, которые найдены в ходе эксперимента.

5. Для обозначения на графике экспериментальных точек используются кружки, треугольники и т.д. Из-за влияния погрешностей измерений точки, нанесённые на график, могут давать некоторый разброс. Поэтому не надо проводить кривую через все экспериментальные точки! Построенная кривая должна быть плавной и проходить, по возможности, ближе к отмеченным точкам, так, чтобы точки, не попавшие на кривую, находились по обе стороны от неё примерно на одинаковых расстояниях.

6. Каждый график должен быть подписан, т. е. должно быть указано, зависимость между какими величинами он отражает.

7. Если имеется несколько кривых, то обозначения точек каждой из них должны быть различными. Каждой кривой присваивается номер, а в подписи к графику указывается наименование значения параметра, соответствующее этому номеру.