Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Найти маршрут минимальной длины от пункта 1 к пункту 1.

7

5

7

8

2

5

1

2

8

7

5

5

3

6

6

11

1

9

2

3

3

4

4

4

10

7

4

6

8

Задача 2. Найти маршрут минимальной длины из вершины А в вершину В.

1

2

В

4

3

А

5

Задача 3. Найти маршрут минимальной длины от пункта 1 к пункту 10.

2

5

10

3

9

4

3

2

2

1

1

3

1

6

9

3

2

4

4

1

5

6

8

4

7

1

2

Задача 4. Найти кратчайший путь из вершины v₁ в вершину v₁₃.

v₁₀

v₉

v₁₁

v₈

v₄

v₃

v₁₃

v₇

v₁

v₁₂

v₂

v₅

v₆

§4 Задача Эйлера. Плоские, планарные и не планарные графы. Формула Эйлера

Теория графов берет свое начало в 1736г. с решения знаменитым математиком Эйлером задачи о кенигсбергских мостах. Жителей Кенигсберга заинтересовал вопрос, могут ли они, начав путь с одного участка суши, обойти все семь мостов Кенигсберга, посетив каждый из этих мостов однажды, и и вернуться в пункт старта, не переплыв реки.

Эйлер переформировал задачу, изобразив участки суши в виде вершин, а мосты сделала ребрами графа. Напомним, что цепь в графе называется Эйлерова, если она содержит все ребра ровно 1 раз.

В графе с более чем одной вершиной есть эйлеров цикл тогда и только тогда, когда этот цикл включает все вершины графа.

Задача Эйлера. Обладает ли данный граф эйлеровым циклом или цепью?

Теорема Эйлера 1. Связный граф обладает эйлеровым циклом тогда и только тогда, когда все его вершины имеют четную степень.

2. Связный граф обладает эйлеровой цепью тогда и только тогда, когда ровно две его вершины имеют нечетную степень.

Граф называется плоским, если он расположен на плоскости так, что его ребра не пересекаются, кроме как в вершинах.

Граф называется планарным, если его можно расположить на плоскости так, что ребра не будут пересекаться.

Гранью плоского графа называется часть плоскости, ограниченная ребрами и не содержащая в себе ни ребер, ни вершин.

Так как планарный граф можно превратить в плоский, то понятие грани имеет смысл и для него.

Пусть В – вершина графа, Г – грань, Р – ребро. Тогда справедлива следующая формула (формула Эйлера): Г+В-Р=2.

Примеры решения задач

Задача 1.

1

2

3

4 – бесконечная грань.

Проверим справедливость формулы на графе из примера 1. Так как В=4; Р=6, то граней должно быть Г=2+Р-В=2+6-4=4. Получили четыре грани, указанные на рис.

Задача 2. Определить наличие эйлерова цикла или эйлеровой цепи в графе:

v₂

v₁

v₃

v₄

v₅

Решение. Определим степень каждой из вершин графа. degv₁=4; degv₂=2; degv₃=4; degv₅=4; degv₄=2. Так как все степени вершин графа четные, то по теореме Эйлера граф обладает эйлеровым циклом и как следствие не обладает эйлеровой цепью.

Задача 3. Выяснить, является ли граф плоским?

Решение. Так как этот граф можно распутать, т.е. преобразовать к виду

то он является планарным.