- •Предисловие
- •Тема 1. Элементы теории множеств и комбинаторики
- •§1. Понятие множества. Операции над множествами
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§2. Отображение множеств
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§3. Мощность множества
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§4. Основы комбинаторики
- •Пример решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§5. Отношение на множестве
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Тема 2. Теория графов
- •§1. Основные понятия теории графов: графы, ориентированные и неориентированные графы, пути, маршруты, циклы
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§2. Понятие связности, смежности и инцидентности
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§3. Задача о кратчайшем пути
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§4 Задача Эйлера. Плоские, планарные и не планарные графы. Формула Эйлера
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§5. Раскраска графа. Хроматическое число и характеристический индекс графа
- •Алгоритм решения задачи о раскраске вершин графа
- •Алгоритм решения задачи о раскраске ребер графа
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§ 6. Представление графов в памяти компьютера. Код Харари
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§8. Обход дерева. Понятие списка. Деревья и списки
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Тема 3. Булевы функции
- •§1. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (сднф)
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§ 2. Совершенная конъюнктивная нормальная форма (скнф)
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§3. Многочлены Жегалкина
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§4. Булевы функции и их свойства
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§5. Функциональная полнота. Теорема Поста
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Список рекомендуемой литературы Основная
- •Дополнительная
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Считая данные графы планарными, выяснить, сколько граней получится после преобразования их в плоские:
2)
Задача 2. Выяснить, являются ли данные графы плоскими (планарными).
2)
Задача 3. Выяснить, обладают ли данные графы эйлеровой цепью.
v1
v2
v2
1) 2)
v1
v3
v5
v3 v4
v5 v4
3)
§5. Раскраска графа. Хроматическое число и характеристический индекс графа
Многие задачи о графах формулируются в терминах цветов, красок. Граф допускает правильную n-цветную раскраску вершин, если его вершины можно раскрасить n разными красками так, чтобы никакие две смежные вершины не имели m одинаковый цвет. минимальное число n, при котором граф G допускает n цветную раскраску вершин, называется хроматическим числом графа и обозначается hB.
Алгоритм решения задачи о раскраске вершин графа
Шаг 1. Вычислить степени всех вершин. Расположить вершины в порядке убывания степеней. Присвоить n=1.
Шаг 2. Окрасить первую неокрашенную вершину в цвет №n.
Шаг 3. Окрасить в цвет № n все вершины, которые не смежны вершинам, уже окрашенным в цвет № n.
Шаг 4. Если все вершины окрашены, то hB=n – искомое хроматическое число.
Иначе n:n+1 и переходим к шагу 2.
Правильная раскраска ребер графа – такая, что никакие два инцидентных ребра графа (имеющих общую вершину) не окрашены в одинаковые цвета.
Минимальное число цветов, необходимое для правильной раскраски ребер графа, называется хроматическим индексом графа hр.
Алгоритм решения задачи о раскраске ребер графа
Шаг 1. Вычислить степени всех вершин. Расположить вершины в порядке убывания степеней. Выбрать вершину с максимальной степенью n.
Шаг 2. Окрасить все ребра, инцидентные этой вершине в n различных цветов.
Шаг 3. Переходим к следующей вершине по списку. Окрашиваем ее ребра.
И так далее.
Процесс продолжается до тех пор, пока не окрасим ребра, инцидентные последней вершине в списке. Если все ребра окрашены, то hр (количество красок) – хроматический индекс.
Справедлива следующая теорема.
Теорема Брукса. Если максимальная степень вершины в графе d, то хроматическое число hBd+1.
Теорема Визинга. Если максимальная степень вершин в графе d, то хроматический индекс d hрd+1.
Примеры решения задач
Задача 1. Чему равно хроматическое число графа?
v2
v5 v3 v1
v6 v4
Решение. Воспользуемся алгоритмом раскраски вершин графа.
1. degv1=4; degv2=4; degv3=3; degv4=2; degv5=5; degv6=2, где degvi – степень i-й вершины. И начнем раскраску с вершины с наибольшей степенью.
2. Окрасим вершину v5 в цвет № 1.
3. Окрасим в цвет №1 все вершины, не смежные с вершиной v5. Таких вершин нет.
Выберем следующую вершину с наибольшей степенью из оставшихся. Это или вершина v1 или v2. Возьмем, например, вершину v1 и окрасим ее в цвет №2.
Окрасим вершины, не смежные вершине v1 и уже окрашенные в цвет №2. Это вершина v3 или v4. Возьмем, например, вершину v3 и окрасим в цвет №2.
Выберем следующую вершину с наибольшей степенью из оставшихся. Такой вершиной является вершина v2. Окрасим ее в цвет №3.
Окрасим в цвет №3 вершины, не смежные с вершиной v2 и уже окрашенные в цвет №3. Это вершины v4 и v6.
Больше вершин не осталось, а значит, хроматическое число графа hВ=3.