Примеры решения задач
Задача 1. Задан граф G1. Указать вершины, ребра, изолированные вершины, кратные ребра, петли.
v4 v6 v1
x1 x5 x4
x2
v5
x3 v3 v2
Решение. Вершины - v1, v2, v3, v4, v5, v6; ребра – х1, х2, х3, х4, х5; изолированные вершины - v6; кратные ребра - х1, х5; петля – х3.
Задача 2. Дан граф G3. Указать один из маршрутов длины 6, соединяющий вершины v1 и v2, замкнутый маршрут длины 7, цепь длины 5, простую цепь, цикл, простой цикл.
x8 x2
v3 v2
x7 x3 x1
v4
x6 v6 v1
x4
x5
v5
Решение. х1, х2, х3, х6, х7, х2 – маршрут длины 6, соединяющий вершины v1 и v2. х1, х2, х3, х6, х7, х2, х1 – замкнутый маршрут длины 7, начинающийся и заканчивающийся в вершине v1. х1, х2, х3, х6, х7 – цепь длины 5. Эта цепь не является простой, так как при обходе вершину v3 мы посетили 2 раза, х1, х2, х3 – простая цепь (все вершины при обходе были различны), х6, х7, х8, х3 – цикл, х6, х7, х3 – простой цикл.
Задачи для самостоятельного решения
Задача
1.
Для графа G
указать вершины, ребра, изолированные
вершины, кратные ребра, петли.
x2 x4 v2 v1
v3
x1
x3
x5 v5
v4
Задача 2. Для графа Д указать вершины, дуги, петли.
x3 x4 v2 v1
x5 v3
x1 x2
v4
Задача 3. Задан орграф G2. Указать вершины, дуги. У дуги х3 начальную и конечную вершины. Какая из дуг является петлей?
x1
x3 v2
v1
x5 x2 v3
x4
x6 v5
v4
x7
Задача 4. Для графа G привести примеры маршрута, замкнутого маршрута, простой цепи, цикла, простого цикла.
v3 v2 x2
x3 x4 x1
v4 x5
v1 x8 x6
v5
v6 x7
Задача 5. Представить карту Брянской области в виде плоского графа (вершины – районы, ребра – границы).
Задача 6. Сколько существует простых путей из левой нижней в правую верхнюю вершину в данном графе?
§2. Понятие связности, смежности и инцидентности
Если в графе любые две вершины можно соединить цепью, то граф называется связным. В противном случае он несвязный.
Связный граф, не содержащий циклов, называется деревом. Несвязный граф распадается на непересекающиеся максимальные связные компоненты (связные подграфы).
Вершины vi, vi+1, соединенные между собой ребром (дугой), называются смежными. Таким образом, смежность это отношение между вершинами.
С другой стороны, вершины vi, vi+1 инцидентны ребру (дуги), которым они связаны.
Таким образом, инцидентность характеризует отношение между ребрами и вершинами. Ребро (дуга) инцидентно каждой вершине, которую оно соединяет. В результате можно сделать вывод, что граф задает два основных отношения: смежности и инцидентности. Степень вершины графа – число ребер, инцидентных ей. Если степень вершины графа равна 1, то она называется висячей. Если степень вершины графа равна 0, то она называется изолированной.
Пусть дан граф G с вершинами v1,…, vn и ребрами х1,…,хm.
Матрица смежности графа G – это квадратная матрица А(G) размера n x n (n – число вершин) с элементами
Матрица смежности графа G обладает свойством симметрии. Она показывает, существует ли путь длины 1 из вершины vi в вершину vj. Также можно получить информацию о путях большей длины. Для этого необходимо возвести матрицу смежности в нужную степень. m – степень матрицы смежности Аm, заполненная числами аij(m), показывает число путей длины m из i вершины в j.
Дан орграф D с вершинами v1,…, vn и дугами х1,…,хm. Матрица смежности орграфа D – это квадратная матрица А(D) размера n x n (n – число вершин) с элементами
Матрица смежности орграфа D свойством симметрии не обладает.
Матрица инцидентности орграфа D – это матрица В(D) размера n x m (n – число вершин, m – число дуг) с элементами
