Глава 6. Линейные неоднородные

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

1. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения

с постоянными коэффициентами и со специальной

правой частью

Пусть задано дифференциальное уравнение вида

(6.1)

Общее решение Y неоднородного дифференциального уравнения (6.1) равно сумме общего решения у_оо соответствующего однородного уравнения и какого-либо частного решения у_чн неоднородного уравнения:

Y_он=у_оо+у_чн (6.2)

Для специальных видов функции f(x), являющейся правой частью уравнения (6.1), y_чн удается найти методом неопределенных коэффициентов. Составить частное решение для дифференциального уравнения этого типа может помочь следующая таблица:

Таблица 1.

f(x)	Замечания	Вид учн
f(x)=Фn(x) – многочлен n-й степени	Число 0 не является корнем характеристического уравнения	учн=Qn(x) – полный многочлен n-й степени с неизвестными пока коэффициентами
	Число 0 является корнем характеристического уравнения кратности 	учн=Qn(x)х
f(x)=Фn(x)eax	Число а не является корнем характеристического уравнения	учн=Qn(x)eax
	Число а не является корнем характеристического уравнения кратности 	учн=Qn(x)eaxx
f(x)= eax (Фn(x)cosbx+ +Rm(x)sinbx)	Числа аbi не являются корнями характеристичес-кого уравнения	учн=eax (Qk(x)cosbx+ +Q1k(x)sinbx), k – наибольшая из степеней n и m; Qk(x), Q1k(x) – два разных многочлена одной и той же степени k
	Числа аbi являются корнями характеристичес-кого уравнения кратности . Замечание: Пара чисел аbi является корнем кратности 1	учн=eax (Qk(x)cosbx+ +Q1k(x)sinbx) x

Если правая часть уравнения (6.1) представляет собой сумму двух функций, т.е. f(x)=f₁(x)+f₂(x), то , где, - частные решения уравнения от функций f₁(x) и f₂(x) соответственно.

1. Найти частные решения неоднородных дифференциальных уравнений, если:

1.1 y"-3y'+2y=f(x); f(x) имеют вид:

а) 10е^-х; б) 3е^2х; в) 2sinx; г) 2х³-30; д) 2e^xcos(x/2); е) х+1-е^-2х; ж) е^х(3-4х); з) 3х+5sin2x; и) 2е^х-е^-2х.

1.2. 2y"+5y'=f(x); f(x) имеют вид:

а) 5х²-2х-1; б) е^х; в) 29cosx; г) 29xsinx; д)100хе^-хcosx.

1.3. y"-4y'+4y=f(x); f(x) имеют вид:

а) 1; б) е^-х; в) 3 е^2х; г) 2(sin2x+x).

1.4. y"+y=f(x); если f(x) равны:

а) 2х³-х+2; б) -8cos3x; в) cosx; г) sinx-2e^-x.

1.5. Записать вид частного решения для уравнения y"-2y'+10у=f(x), если f(x) имеют вид:

а) х²-4х; б) хе^х; в) (2х²-3)е^3х; г) е^хcos3x; д) хе^хsin3x; е) е^х(xsin3x+x²cos3x).

2. Решить следующие дифференциальные уравнения:

а) y"-5y'+6y=13sin3x;

б) y"-3y'+2y=е^х;

в) y"-2y'+y=х³;

г) y"+4y=xsin2x;

д) y"+8y'=8х.

е) y"-3y'=18х-10cosx.

3.Найти решения дифференциальных уравнений, удовлетворяющих заданным начальным условиям:

а) y"+y=2(1-х); у(0)=2; у'(0)=-2;

б) y"-6y'+9y=9х²-12х+2; у(0)=1; у'(0)=3;

в) y"+9y=36е^3х; у(0)=2; у'(0)=6;

г) y"-4y'+4y=2е^2х; у(0)=у'(0)=0;

д) y"+y=2cosx; у(0)=1; у'(0)=0;

е) y"+y=4xcosx; у(0)=0; у'(0)=1.

____________________

Ответы:

1. а) ; б) 3хе^2х; в) ; г); д); е); ж)е^х(2х²+х); з); и).

2. а) ; б) 1/7е^х; в) 5sinx-2cosx; г);д)((650х+2650sinx- -(3250x-400)cosx).

3. а) 1/4; б)1/9е^х; в) ; г).

4. а) 2х³-13х+2; б) cos3x; в) г).

5. а) Ах²+Вх+С; б) (Ах+В)е^х; в) (Ах²+ВХ+С)е^3х; г)е^х(Аcos3x+ +Bsin3x)x; д) е^х((Ах+В)sin3x+(Cx+D)cos3x)x; е)е^х((Ах²+Вх+С) sin3x+(Dx²+Ex+F)cos3x)x.

1. а); б);в)+ ++;г);

д) ; е).

3. а) у=2-2х; б) у=х²+е^3х; в) у=2е^3х; г) у=х²е^2х; д) у=cosx+xsinx; е)у=xcosx+x²sinx.