Глава 3. Дифференциальные уравнения

1-ГО ПОРЯДКА

3.1. Понятия о дифференциальном уравнении

Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида

F(x,y,y',y",…,y⁽ⁿ⁾)=0, (*)

где у=у(х) – искомая функция.

Любая функция у=(х), обращающая уравнение (*) в тождество, называется решением этого уравнения, а график этой функции – интегральной кривой. Если решение задано в неявном виде Ф(х,у)=0, то оно обычно называется интегралом уравнения (*).

Функция y=(x,c₁,c₂,…,c_n), содержащая n призвольных постоянных, называется общим решением уравнения (*), если оно является его решением при любых значениях постоянных c₁,…,c_n. Если эта функция задается в неявном виде выражением Ф(x,c₁,c₂,…,c_n)=0, то это выражение называется общим интегралом уравнения (*). Придавая в выражении y=(x,c₁,c₂,…,c_n) или в выражении Ф(x,c₁,c₂,…,c_n)=0 определенные значения постоянным c₁,…,c_n, получаем частное решение или соответственно частный интеграл уравнения (*).

Дифференциальное уравнение 1-го порядка имеет вид

F(x,y,y')=0. (или y'=f(x,y)).

Если в некоторой области функция f(x,y) непрерывна и имеет ограниченную частную производную f'_y(x,y), то оказывается, что через каждую внутреннюю точку (х₀,у₀) этой области пройдет единственная интегральная кривая.

В такой области уравнения y'=f(x,y) имеет общее решение y=(x,с), из которого можно найти единственное частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: у=у₀ при х=х₀.

Задача отыскания частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию, называется задачей Коши.

3.2. Уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнения первого порядка

Р(х,у)dx+Q(x,y)dy=0

называется уравнением с разделяющимися переменными, если функции Р(х,у) и Q(x,y) разлагаются на множители, зависящие только от х или только от у, т.е. если оно может быть представлено в виде f(x)(y)dx+f₁(x)₁(y)dy=0. Это уравнение путем деления на произведение (y)f₁(x) приводится к уравнению с разделенными переменными

Заметим, что исходному уравнению могут удовлетворять решения, потерянные при делении на (y)f₁(x), т.е. получаемые из уравнения (y)f₁(x)=0. Если эти уравнения не входят в найденный общий интеграл, то они являются особыми решениями уравнения.