2.3. Обратная матрица. Матричные уравнения и системы линейных уравнений

Обратной матрицей к квадратной матрице А называется такая матрица (обозначается А^-1), что А^-1А=А А^-1=Е.

Замечание. Если матрица А^-1 существует, то она единственна.

Минором М_ij к элементу а_ij квадратной матрицы А называется определитель, вычисленный из элементов матрицы А, оставшихся после вычеркивания i-й строки и j-го столбца.

Алгебраическим дополнением А_ij к элементу а_ij квадратной матрицы А=(a_ij) называется произведение А_ij=(-1)^i+jM_ij.

Присоединенной матрицей к квадратной матрице А=(a_ij) называется матрица , составленная из алгебраических дополненийА_ij к элементам a_ij матрицы А.

Теорема. Если квадратная матрица А – невырожденная (т.е. detA0), то

(*)

Метод присоединенной матрицы вычисления обратной матрицы к невырожденной матрице А состоит в применении формулы (*).

Матричные уравнения простейшего вида с неизвестной матрицей Х записывается следующим образом

АХ=В, ХА=В, АХС=В.

В этих уравнениях А,В,С,Х – матрицы таких размеров что все используемые операции умножения возможны, и с обеих сторон от знака равенства стоят матрицы одинаковых размеров.

Если в этих уравнениях матрицы А и С невырожденные, то их решения записываются следующим образом:

а) для уравнения АХ=ВХ=А^-1В;

б) для уравнения ХА=ВХ=ВА^-1;

в) для уравнения АХС=ВХ=А^-1ВС^-1.

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы

Пусть система из n линейных уравнений с n неизвестными записана в матричной форме:

АХ=В,

где А=(a_ij) – матрица коэффициентов системы размера nn,

- столбец неизвестных,

- столбец свободных членов.

Если определитель матрицы А не равен нулю, то система совместна и определена, и ее решение задается формулой:

Х=А^-1В.

____________________

1. Найти матрицу, обратную к данной: а) ; б);

в) ; г); д); е); ж).

2. Решить матричные уравнения: а) ;

б); в); г);

д).

3. Решить системы уравнений, используя обратную матрицу: а); б); в).

4. Решить матричные уравнения:

а) ; б).

5. Решить систему уравнений:

.

____________________

Ответы:

1. а) ; б); в); г); д)А^-1 – не существует;

е) ; ж).

9. а) ; б); в) Х – не существует; г) ;

д) .

2. а) (-2;2;1); б) (1;2;-3); в) невозможно решить.

3. а) ; б).

4. (2;-3;2).

2.4. Собственные числа и собственные векторы матрицы

Ненулевой вектор х называется собственным вектором матрицы А, соответствующим собственному числу , если

Ах=х.

Вместо слов «собственное число» говорят также собственное значение, характеристическое число или характеристическое значение.

Собственными числами матрицы А являются корни уравнения |A-E|=0, называемого характеристическим уравнением матрицы А.

Собственные векторы находим для каждого собственного значения _i, как ненулевое решение однородной системы линейных уравнений (А-_iЕ)Х=0.

_____________________

1. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы:

а) ; б); в).

Ответы:

1. а) ₁=4, ₂=9, х₁=,х₂=; б)₁=0, ₂=25, х₁=,х₂=; в)₁=2, ₂=3, ₃=6, .