Глава 5. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

1. Линейные однородные дифференциальные уравнения

Второго порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами вида

y"+a₁k+a₂y=0. (5.1)

Квадратное уравнение k²+a₁k+a₂=0, (5.2)

называется характеристическим уравнением для уравнения (5.1), которое может иметь два действительных различных корня, два действительных равных корня (корень кратности два) или пару комплексно-сопряженных корней. Общее решение у_оо для однородного уравнения вида (5.1) определяется корнями характеристического уравнения:

1. k₁k₂ – действительные различные корни, тогда

; (5.3)

2. k₁ = k₂ = k – действительные равные корни:

; (5.4)

3. k_1,2=i - комплексно-сопряженные корни

. (5.5)

5.2 Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами

Пусть дано дифференциальное уравнение вида:

, (5.6)

где а₁, а₂, …, а_n – постоянные величины.

Составляется его характеристическое уравнение

. (5.7)

Общее решение заданного уравнения имеет вид:

, (5.8)

где у₁,у₂,…,у_n – частные решения, которые определяются корнями характеристического уравнения, при этом каждому действительному корню кратности m соответствует m чаcтных решений вида e^kx, xe^kx,…,x^m-1e^kx, а каждой паре комплексно-сопряженных корней кратности m соответствует m пар частных решений:

e^xsinx, e^xcosx; xe^xsinx, xe^xcosx;…; x^m-1e^xsinx, x^m-1e^xcosx.

__________________________

1. Решить уравнения:

а) y"-5y’+6y=0 ;

б) y"-4y’+4y=0 ;

в) y"-4y'+13y=0;

г) y"-4y=0;

д) y"+4y=0;

е) y"+4y'=0.

2. Решить задачу Коши:

а) y"-4y'+3y=0, если у(0)=6, y'(0)=10;

б) y"-6y'+9y=0, если у(0)=0, y'(0)=2;

в) y"-2y'+2y=0, если у(0)=0, y'(0)=1.

3. Решить уравнения:

а) y"'-8y=0;

б) y^VI+2y^V+y^IV=0;

в) y"’-3y"+3y’-y=0, если у(0)=1, y’(0)=2, y" (0)=3.

4. Решить уравнения:

а) y"+3y'+2y=0;

б) y"-8y'=0;

в) y"-9y=0;

г) y"+9y=0;

д) y"+2y'+5y=0;

е) y"-2y'+3y=0, если у(0)=1, y'(0)=3;

ж) y'"+y"=0, если у(0)=1, y'(0)=0, y"(0)=1.

_____________________

Ответы:

1. а) y=c₁e^2x+c₂e^3x; б) y=c₁e^2x+c₂ хe^2x; в) y= e^2x (c₁cos3x+c₂sin3x); г) y=c₁e^2x+c₂e^-2x; д) y= c₁cos2x+c₂sin2x; е) y=c₁+c₂e^-4x.

2. а) y=4e^x+2e^3x; б) y=2хe^3x; в) y=e^xsinx.

3. а) y=c₁e^2x+e^-x(с₂cos3x+с₃sin3x); б) y=c₁+c₂х+ c₃х²+ c₄х³+e^-х(с₅+с₆х); в) у=e^x+хe^x.

4. а) y=c₁e^-2x+c₂e^-x; б) y=c₁+c₂e^8x; в) y=c₁e^3x+c₂e^-3x; г) у=c₁cos3x+c₂sin3x; д) у= e^-x(c₁cos2x+c₂sin2x);

е) у= e^x(cos2x+2sin2x); ж) у=х+е ^–x.