3.3. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка
Дифференциальные уравнения вида
y'+p(x)y=g(x),
где р(х) и g(x) – непрерывные функции (в частности – постоянные), называется линейным уравнением первого порядка. Если g(x)0, то уравнение примет вид y'+p(x)y=0 и называется линейным однородным. Оно является уравнением с разделяющимися переменными. В случае g(x)0 уравнение называется линейным неоднородным уравнением.
Решение линейного
уравнения ищется в виде y=uv,
где u=u(x)
и v=v(x)
– неизвестные
функции от х
(метод Бернулли). При этом одну из этих
функций можно выбрать произвольно (из
соображений удобства), тогда вторая
определится из исходного уравнения.
Обе неизвестные функции находятся из
уравнений с разделяющимися переменными.
Кроме того, линейное уравнение можно
решить методом вариации произвольной
постоянной (метод Лагранжа). В этом
случае сначала находят общее решение
однородного уравнения, а затем,
предполагая, что произвольная постоянная
С
является функцией от х,
находят из исходного уравнения с=с(х).
Общее решение исходного линейного
уравнения будет иметь вид
.
_______________________
Решить уравнения
1.
.
2.
.
3. y'cosx-ysinx=sin2x.
4. xy'+y=lnx+1.
5.
.
6.
.
7.
.
8. xy’+y-3x2=0.
9. y’+ycosx=sin2x.
10. (2x+1)y’+y=x.
Глава 4. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
Дифференциальные уравнения порядка выше первого называются дифференциальными уравнениями высших порядков, которые в общем виде записываются как F(x,y,y',…,y(n))=0 или y(n)=f(x,y',…,y(n-1)).
Рассмотрим три типа таких уравнений:
1 тип: y(n)=f(x). (4.1)
Решение такого
уравнения находится n-кратным
последовательным интегрированием обеих
частей уравнения (4.1);
,
и так далее.
Заметим, что общее решение будет содержать n произвольных постоянных с1,с2,…,сn.
2 тип: y(n)=f(x,y',…,y(n-1)) – это уравнение не содержит в явном виде искомой функции у. Далее будем рассматривать частный случай, когда n=2, то есть
y»=f(x,y') (4.2)
Пусть y'=p, тогда y»=p' и уравнение (4.2) принимает вид p'=f(x,p), которое является дифференциальным уравнением 1-го порядка. После отыскания решения последнего уравнения находим искомую функцию у. Общее решение содержит две произвольные постоянные.
3 тип: y(n)=f(у,y',…,y(n-1)) – не содержит в явном виде независимую переменную х, при n=2 имеем
y»=f(у,y') (4.3)
Для понижения
порядка рассмотрим новую функцию р=р(у),
где у=у(х).
Если y'=p,
то y»=pp'.
Теперь уравнение (4.3) имеет вид
.
После отыскания функциир
из равенства y'=p
найдем искомую функцию у.
Решить уравнения
1. а) yIV=sin2x;
б)
;
в)
при условиях:у(1)=2;
у'(1)=1;
у»(1)=1;
г) у»=xe-x,
если у(0)=1;
у'(0)=0;
д) y»=2sinxcos2x-sin3x.
2. а) х3y»+x2y'=1; б) y»xlnx=y'; в) xy»-y'=exx2; г) xy»=(1+2x2)y'.
3. а)
yy »+y’
2=0 ;
б)
y »+2y(y’)3=0 ;
в)
y’’=
.
4. а) yIV=x ; б) y »’=x+cosx; в) y"=xex, если y(0)=y'(0)=0; г) (xlnx)y"=y' ; д) xy"=y'+x2 ; е) y"tgy=2(y')2 ;ж) yy''-y' 2=0.
__________________
Ответы:
а)
б)–ln|cosx|+c1x+c2;
в)3lnx+2x2-6x+6;
г) (x+2)e-x+х-1;
д)
.а)
;
б)
y=c1x(lnx-1)+c2;
в)
y=ex(x-1)+c1x2+c2 ;
г)
.а)
;
б)
;
в)
.
4. а)
б)
;
в)y=(x-2)ex+x+2;
г)
;
д)
;
е)ctgy=c2-c1x;
ж)
.