Глава 2. Матрицы и операции над ними

2.1. Основные понятия

Матрицей А размера mn называется прямоугольная таблица из m строк и n столбцов, состоящая из чисел или иных математических выражений a_ij, называемых элементами матрицы, i=1,2,…,m, j=1,2,…,n.

Матрица А с элементами a_ij обозначается также (a_ij).

.

Квадратной матрицей n-го порядка называется матрицей размера nn.

Диагональной называется квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали (т.е. с индексами ij) равны нулю.

Единичной называется диагональная матрица с единицами на главной диагонали (обозначается Е).

Нулевой называется матрица, все элементы которой равны нулю.

Примеры матриц: а) квадратная; б) диагональная; в) единичная; г) нулевая:

а) ; б); в); г).

2.2. Операции над матрицами

Суммой матриц А = (a_ij) и В = (b_ij) одинакового размера называется матрица С = (с_ij) того же размера, причем с_ij= a_ij + b_ij, i,j.

Свойства операции сложения матриц

Для любых матриц А, В и С одного размера выполняются равенства:

1. А+В=В+А (коммутативность);

2. (А+В)+С=А+(В+С)=А+В+С (ассоциативность).

Произведением матрицы А = (a_ij) на число  называется матрица В = (b_ij) того же размера, что и матрица А, причем b_ij= a_ij, i,j.

Свойства операции умножения матрицы на число

1. (А)=()А (ассоциативность);

2. (А+В)=А+В (дистрибутивность относительно сложения матриц);

3. (+)А=А+А (дистрибутивность относительно сложения чисел).

Произведением АВ матриц А и В (размеров mn и nr соответственно) называется матрица С размера mr, такая, что с_ij= a_i1 b_1j+ a₁₂ b_2j+…+ a_ik b_kj+…+ a_in b_nj=.

Таким образом, каждый элемент с_ij, находящийся в i-й строке и j-м столбце матрицы С, равен сумме произведений соответствующих элементов i-й строки матрицы А и j-го столбца матрицы В.

Получение элемента с_ij схематично изображается так

j

Произведение АВ существует, только если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

Свойства операции умножения матриц

1. (АВ)С=А(ВС)=АВС (ассоциативность);

2. (А+В)С=АС+ВС (дистрибутивность);

3. А(В+С)=АВ+АС (дистрибутивность);

4. АВВА (отсутствует коммутативность).

Коммутирующими (или перестановочными) называются матрицы А и В, для которых АВ=ВА.

Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей, транспонированной к данной (обозначается А^Т).

_________________

1. Найти линейные комбинации заданных матриц:

а) А-Е, ;

б) 4А-5В, .

2. Найти произведения матриц АВ и ВА (если они существуют):

а) ; б)А=(4 0 -2 3 1), ;

в) .

3. Проверить, коммутируют ли матрицы:

а) ;

б) .

4. Найти произведения матриц АА^Т и А^ТА:

а) б)А=(1 2 3 4); в) .

5. Найти линейные комбинации матриц:

а) 5А-3В+2С, ;

б) А-Е, .

6. Найти произведения АВ и ВА (если это возможно):

а) ; б).

7. Найти произведения АА^Т и А^ТА:

а) б).

________________________

Ответы:

1. а) ; б).

2. а);

б) АВ=(31); ;

в) АВ не существует, .

3. а) да; б) нет.

4. а) ;

б) АА^Т=(30); ;

в) ;.

5. а) б).

6. а) ,ВА – не существует;

б) ;.

7. а) ;

б) .