0. 9.2. Знакочередующиеся ряды

Знакочередующийся ряд – частный случай знакопеременного ряда, общий вид которого может быть записан как

а₁ - а₂ +а₃ - а₄+…+(-1)ⁿ⁺¹+...=, где всеа_n – положительные числа.

Для знакочередующихся рядов можно сформулировать признак Лейбница: пусть для ряда абсолютные величины членов ряда монотонно убывают, т.е.а₁ > а₂ >…>а_n>…, и пусть , тогда данный ряд сходится, при этом различают абсолютную и условную сходимость ряда.

Если сходится знакочередующийся ряд и сходится соответствующий ему знакоположительный ряд, то знакочередующийся ряд сходится абсолютно.

Если знакочередующийся ряд сходится, а соответствующий знакоположительный ряд расходится, то знакочередующийся ряд сходится условно.

_____________________

1. Исследовать на сходимость знакопеременные ряды. Для сходящихся рядов указать характер сходимости:

а) ; б); в);

г) ; д); е); ж);

з) ; и); к).

__________________

2. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряды:

а) ; б); в); г);

д) ; е).

Ответы:

1. а) сходится абсолютно; б) сходится абсолютно; в) сходится

абсолютно; г) расходится; д) сходится условно; е) сходится

условно; ж) сходится абсолютно; з) сходится абсолютно;

и) расходится; к) сходится условно.

2. а) сходится условно; б) сходится абсолютно; в) сходится

абсолютно; г) сходится условно; д) сходится абсолютно;

е) сходится абсолютно.

9.3. Степенные ряды

Ряд, членами которого являются функции, зависящие от х, называется функциональным:

=u₁(x)+ u₂(x)+…+ u_n(x)+….

Придавая х определенное значение х₀, получим числовой ряд u₁(x₀)+ u₂(x₀)+…+ u_n(x₀)+…, который может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Если полученный числовой ряд сходится, то точка х₀ называется точкой сходимости, если ряд расходится – точкой расходимости.

Совокупность всех значений х, при которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости.

Среди функциональных рядов в математике и ее приложениях особую роль играет ряд, членами которого являются степенные функции аргумента х, так называемый степенной ряд:

(1)

или ...(2)

Теорема Абеля. Если степенной ряд (1) сходится при х=х₀0, то он абсолютно сходится при всех значениях х, таких, что |x|<|x₀|.

Интервал (-|x₀|, |x₀|) называется интервалом сходимости степенного ряда (1). Положив |x₀|=R, интервал сходимости можно записать как (-R,R), при этом число R называют радиусом сходимости

.

Для ряда (2) интервал сходимости есть (х₀-R, х₀+R). Концы интервала сходимости необходимо исследовать отдельно.

________________________

1. Найти области сходимости следующих степенных рядов:

а) ; б); в); г); д);

е) ; ж); з); и);

к) ; л); м).

_________________________

Ответы:

1. а) [-1;1]; б) [-1;1]; в) (-5;5); г) (-;); д) (-;); е) [-1;1); ж) [-4;0);

з) (-;); и) (0;6); к) [-3;1); л) (-1;1); м) (-;).

9.4. Разложение функций в степенные ряды

Для различных приложений необходимо уметь разлагать произвольную функцию f(x) в степенной ряд.

Если функция f(x) бесконечно дифференцируема в окрестности точки х₀, то ее можно разложить в степенной ряд по степеням (х-х₀):

Такой ряд называется рядом Тейлора. Если х₀=0, то получим ряд Маклорена:

Для некоторых элементарных функций известны их разложения в ряд Маклорена:

1. .

2. .

3. .

5. .

6. .

7. .

_________________________

1. Разложить в степенной ряд следующие функции:

а) ; б); в);

г) ; д)f(x)=xln(1+x²); е) f(x)=3^x.

2. Вычислить число е с точностью q₀ =0,001.

3. Вычислить интеграл с точностью до=0,001.

______________________

Ответы:

1. а)

б) ;

в) ; г); д);

е) .

2. l2,718.

3. I=0,245.