- •Математика алгебра и геометрия
- •Введение
- •1. Тематика практических занятий и текущая самостоятельная работа
- •2. Расчетно-графическая работа задание 1
- •Задание 2
- •Задание 3
- •Задание 4
- •Задание 5
- •Задача 6
- •Задание 7
- •3. Пример варианта контрольной работы по теме «векторная алгебра»
- •4. Пример варианта контрольной работы по теме «аналитическая геометрия»
- •5. Вопросы к экзамену по дисциплине «алгебра и геометрия»
- •6. Тематика экзаменационных задач
- •7. Примеры экзаменационных задач
- •Перечень знаний, навыков и умений для получения удовлетворительной оценки
- •Список рекомендуемой литературы Основная
- •Дополнительная
6. Тематика экзаменационных задач
Решение систем линейных алгебраических уравнений.
Операции над матрицами.
Обратная матрица.
Решение матричных уравнений.
Ранг матрицы.
Исследование систем линейных алгебраических уравнений.
Собственные значения и собственные векторы матрицы.
Линейные операции над векторами.
Прямоугольные координаты вектора.
Линейная зависимость и независимость векторов.
Базис на плоскости и в пространстве.
Координаты вектора в косоугольном базисе.
Коллинеарность векторов.
Компланарность векторов.
Скалярное произведение векторов.
Проекция вектора на ось.
Векторное произведение векторов.
Смешанное произведение векторов.
Механические приложения скалярного и векторного произведений векторов.
Различные виды уравнения прямой на плоскости.
Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.
Расстояние от точки до прямой на плоскости.
Уравнение окружности.
Эллипс, гипербола и парабола в канонической системе координат.
Приведение к каноническому виду и построение кривой 2-го порядка, уравнение которой не содержит произведения координат
Графическое решение квадратичных неравенств от двух переменных.
Переход от одного вида уравнения прямой в пространстве к другому.
Взаимное расположение в пространстве плоскостей, прямых и прямой и плоскости.
Угол между плоскостями (прямой и плоскостью).
Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей, прямой и плоскости.
Проекция точки на плоскость.
Расстояние от точки до плоскости (прямой).
7. Примеры экзаменационных задач
При каком α ранг матрицы А равен 2?
.
2. Известно, что При каких значениях λ векторы
и будут перпендикулярны?
3. В треугольнике с вершинами А(1,-1,2), В(5,-6,2) и С(1,3,-1) найти высоту, опущенную из вершины В на сторону АС.
4. При каком α векторы (-1,5,4),(α,3,1) и(5,-1,2) будут компланарны?
5. Вычислить расстояние от точки М(1,1) до прямой L: x=2t-1, y=t+2.
6. Изобразить на плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству 4х2 + 3у2 - 8х + 12у < 32.
7. Найти точки гиперболы 16х2 – 9у2 = 144, находящиеся на расстоянии 7 от левого фокуса гиперболы.
8. Прямая L задана общими уравнениями. Написать для этой прямой канонические уравнения.
9. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М1(1,2,0) и М2(2,1,1) перпендикулярно плоскости х – у + 1 = 0.
10. Найти проекцию точки М(0,1,2) на прямой
Перечень знаний, навыков и умений для получения удовлетворительной оценки
Для получения удовлетворительной оценки студент должен:
знать основные понятия, теоремы и формулы, а также уметь применять их при решении типовых задач;
уметь использовать элементы векторной алгебры в приложении к задачам аналитической геометрии;
усвоить методы решения стандартных задач линейной алгебры, векторной алгебры и аналитической геометрии.
Приведем тематику типовых задач:
системы линейных алгебраических уравнений;
линейные операции над векторами;
линейные операции над векторами, заданными в координатной форме;
скалярное произведение и его свойства;
скалярное произведение в координатной форме, вычисление длин векторов и углов между ними;
проекция вектора и ее вычисление;
векторное произведение и его свойства;
векторное произведение в координатной форме, приложения векторного произведения;
смешанное произведение и его свойства;
смешанное произведение в координатной форме, приложения смешанного произведения;
условия перпендикулярности, коллинеарности и компланарности векторов;
прямая на плоскости;
общее уравнение плоскости;
общие, канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве;
взаимное расположение а) двух плоскостей, б) двух прямых;
взаимное расположение прямой и плоскости;
канонические уравнения кривых второго порядка.