4.4. Примеры решения задач

Задача К 2.1

С

Рис. 18

тупенчатый стержень (рис. 18) с площадями поперечных сеченийF₁, F₂, F₃ нагружен осевыми силами P₁, P₂, P₃ , приложенными по концам или в сере­дине участков длиной b , с, d. Материал стерж­ня – сталь, допускае­мое на­пряже­ние = 160 МПа, модуль продольной упру­гости E= 210⁵ МПа.

Требу­ется построить эпюры нор­мальных сил, напряжений и пе­ре­ме­щений, оценить прочность стержня, определить про­цент пере- или недонап­ряжения.

Данные к задаче: b = 50 см, с = 40 см, d = 80 см, F₁ =25 см², F₂ = 18 см², F₃ = 10 см², P₁ = 70 кН, P₂ = 120 кН, P₃ = 80 кН.

Решение

1. Изображаем расчетную схему (рис. 19а). Обозна­чим границы участ­ков и точки приложения сил бу­квами А , В , С , D , Е .

2. Строим эпюру "N" (рис. 19б).

3. Строим эпюру "" (рис. 19в). .

Так как на всех участках N = const, то и  = const.

При вычислениях значе­ния всех величин под­ставляем в формулы в ос­новных единицах СИ.

Уча­сток DE :

-7010⁶ Па = -70 МПа.

Уча­сток СD

-38,810⁶ Па = -38,8 МПа.

Уча­сток ВС

27,810⁶ Па = 27,8 МПа.

Уча­сток АВ

-1210⁶ Па = -12 МПа.

Для построения эпюры на границах участков, отклады­ваем от нуле­вой ли­нии по­лучен­ные значения  в масштабе с учетом знаков и соединяем их прямыми ли­ниями.

4. Строим эпюру пере­меще­ний (рис. 19г).

Перемещение сечения А равно нулю, т.к. это сече­ние за­креплено. Перемещения других сечений равно сумме изменения длин участков, расположенных между этими сечениями и задел­кой.

Рис. 19

Откладывая от нулевой линии полученные значения перемещений в сече­ниях В, С, D , Е в масштабе с учетом знаков и соединяя полу­ченные точки прямыми линиями, получаем эпюру перемещений (рис.19г).

5.Оцениваем прочность стержня, определяем процент пере- или не­донапря­жения.

Прочность стержня обеспечена, т.к.

_max = 70 МПа   = 160 МПа.

Стер­жень"недонапряжен":

.

Недонапряжение составляет 56,2 % от .

Задача 2.2

Эта задача является типичной задачей по определению необхо­ди­мых раз­меров поперечных сечений из условия прочности. Реша­ется она в соответствии с алгоритмом рассмотренным в п. 4.2.

Изменение длины бруса определяется

,

где n – число участков на расчетной схеме, на которых F = const, N = const; – изменение длиныi-го участка; F_i – площадь попе­речного сечения с размерами определенными из условия прочности на данном участке.

Задача К 2.3

Условия задачи изло­жены в п. 4.1. Схема задачи изображена на рис. 20.

Д

Рис. 20

анные к задаче:М₁ =28 кНм, М₂ = 22 кНм, М₃ = 9 кНм, М₄ = 12 кНм, a = 1 м, b = 1,8 м, с = 0,8 м,   = 50 МПа,   = 0,008 рад/м, G = 810⁴ МПа.

Решение

1.Определяем величину и на­прав­ление моментаМ₀.

Вал под действием приложенных к нему моментов должен нахо­дит­ся в рав­новесии, т.е. М_z = 0.

При записи этого урав­нения моменты, направ­ленные против часо­вой стрелки, счи­таем поло­жительными, по часовой стрелке – от­рица­тель­ными. На­блюдение ве­дем с пра­вого конца вала.

Рис. 21

М_z = - М₄ + М₃ + М₂ + М₀ + М₁ = -12 + 9 + 22 + М₀ +28 = 0,

М₀ = - 47 кНм.

Знак "минус" при М₀ указывает на то, что этот момент в действи­тельности на­правлен в направлении противоположном указанному на схеме задачи.

2. Изображаем расчет­ную схему вала (рис. 21а). Точки приложения мо­ментов (границы уча­стков) обозначаем бук­вами А , В , С , D , Е.

3. Строим эпюру "М_к" (рис. 21б).

4. Определяем необходимый диаметр вала

а) Из условия прочности:

,

М_к.расч = 28 кНм – берем с эпюры М_к.

.

Приравнивая выражение для _max и  , получим:

откуда

м.

б) Из условия жесткости

.

М_к.max = 28 кНм – берем с эпюры М_к ;

.

Приравнивая выражение для _max и , получим:

,

откуда

м.

Из двух полученных значений d за ответ берём больший d = 0,142 м = = 142 мм. Округляем его до ближайшего большего стандартного зна­че­ния d = 150 мм.

5. Строим эпюру углов закручивания (рис. 21в).

Углы поворота сечений будем определять относительно сечения А, т.к. угол поворота этого сечения равен нулю. Углы пово­рота дру­гих сечений (В, C, D, E) равны сумме углов закручивания участков вала, расположенных между сечением А и сечением, угол за­кручи­вания которого определяется:

.

Т.к. вал в этой задаче имеет один диаметр на всех участках, вы­числим I_k

м⁴ .

Угол поворота сечения В равен углу закручивания участка АВ:

рад.

Угол поворота сечения С:

Угол поворота сечения D:

Угол поворота сечения Е:

Откладывая от нулевой линии полученные значения углов по­ворота сечений в масштабе с учётом знака, а затем, соединяя полу­ченные точки прямыми ли­ниями, получаем эпюру углов закручива­ния (рис. 21в).

6. Вычисляем наибольшее касательное напряжение наиболее нагру­женном участке вала.

Наиболее нагруженным является участок АВ, т.к. здесь наиболь­ший кру­тящий момент М_к(тах) = 28 кНм.

Па =

=42,5 МПа.

7. Вычисляем наибольший относительный угол закручивания

рад/м.

Примечание. I_к был вычислен ранее (п. 5).

Задача К 2.4

Эта задача является типичной задачей на определение необходи­мых разме­ров сечения из условия прочности. Её решение осуществ­ляет­ся в соответствии с алгоритмом решения этих задач (см. разд. 4.2).

Угол поворота концевого сечения вала определяется так же, как угол пово­рота сечения Е в предыдущей задаче. . Эпюра уг­лов закручивания не строится.

Задача К 2.5

Вычислить значения главных центральных моментов инерции, опре­делить положение главных центральных осей сечения (рис. 22).

Числовые данные: r = 0,2a; l = 0,25a; b = 0,75a; h = a, а = 12см.

Решение

1. Вычерчиваем сечение в удобном масштабе.

2.Делим сечение на простые части: 1 - тре­угольник, 2 - полу­круг (мнимый).

3. Проводим начальные оси Х₀, У₀.

4. Готовим таблицу (табл. 21) для записи ре­зультатов расчета. Оп­ре­деляем коор­динаты центров тяжести со­ставляющих частей.

Примечание. В данном примере все расчеты выполнены в общем виде через а. Допускается, а иногда более удобно, выполнять расчеты в численном виде. Для этого на чертеже все размеры указывают в сантиметрах, а затем их подставляют в рас­четные формулы, а ре­зультаты записывают в таблицу с соблюдением размерностей (см, см², см⁴).

Таблица 21

Часть	хс (а)	ус (а)	F (а2)	Ix (а4)	Iy (а4)	Ixy (а4)
I	0,25	0,333	0,375	0,0208	0,0117	-7,8110-3
2	0,0848	0,25	-0,0628	-6,2910 - 4	-1,7610 - 4	0
Сечение	0,283	0,35	0,312	0,0202	0,0115	-7,8110-3

Окончание табл. 21

Часть	ai (а)	bi (а)	F (а4)	F (а4)	ai bi F (а4)
I	-0,017	-0,033	1,0810 – 4	4,0810 – 4	2,110 - 4
2	-0,1	-0,198	-6,2810 – 4	-2,4610 – 3	-1,2410 – 3
Сечение	---	---	-5,210 - 4	-2,0510 - 3	-1,0310 – 3

Треугольник ;.

Полукруг ;.

Заносим эти результаты в табл. 21. Наносим на чертеж положение центров тяжести треуголь­ника и полукруга, прово­дим через них центральные оси (х₁, у₁; х₂, у₂) парал­лельные началь­ным осям Х₀ У₀ (рис. 22).

Вычисляем и заносим в табл. 16 площади и мо­менты инерции со­ставляю­щих час­тей.

Треугольник

Рис. 22

Примечание. Знак I_ху для треугольника и четверти круга зависит от положения относительно координатных осей.

Полукруг (мнимый):

;

;

;

, т.к. центральные оси полукруга являются его главными центральными осями, а относительно главных центральных осейI_ху= 0.

5. Вычисляем площадь сечения, для этого суммируем данные в столбце F табл. 21, результат заносим в табл. 21.

.

Определяем координаты центра тяжести сечения и заносим резуль­таты в табл. 21:

;

.

Наносим на чертеж сечения положение центра тяжести и проводим через него центральные оси Х_сУ_с параллельные начальным осям Х₀У₀.

Определяем a_i , b_i , F_i , F_i , a_i b_i F_i для простых частей, резуль­таты заносим в табл. 21.

Треугольник

а₁ = у_с1 – у_с = 0,333 а – 0,35 а = - 0,017 а ;

b₁ = х_с1 – х_с = 0,25 а – 0,283 а = - 0,033 а ;

F₁ = (-0,017 а)² 0,375 а² = 1,08310 ^{– 4} а⁴ ;

F₁ = (-0,033 а)² 0,375 а² = 4,08310 ^{– 4} а⁴ ;

а₁b₁F₁ = (-0,017 а)(-0,033 а)0,375 а² = 2,110 ^{– 4} а⁴ .

Полукруг

a₂ = у_{с 2} – у_с = 0,25 а – 0,35 а = - 0,1 а ;

b₂ = х_{с 2} – х_с = 0,0848 а – 0,283 а = - 0,198 а ;

F₂ = (- 0,1 а)² (- 0,0628 а²) = - 6,2810 ^{– 4} а⁴ ;

F₂ = (- 0,198 а)² (0,0628 а²) = - 2,4610 ^{– 3} а⁴ ;

а₂b₂F₂ = (- 0,01 а)(- 0,198 а)(- 0,0628 а²) = 1,2410 ^{– 3} а⁴ .

Определяем для сечения

 I_{x i} = 0,0208 a⁴ – 6,2810 ^{– 4} а⁴ = 0,0202 а⁴ ;

 I_{y i} = 0,0117 a⁴ – 1,7610 ^{– 4} а⁴ = 0,0115 а⁴ ;

 I_{x y i} = - 7,8110 ^{– 4} a⁴ + 0 = - 7,8110 ^{– 4} а⁴ ;

 F_i = 1,0810 ^{– 4} а⁴ – 6,2810 ^{– 4} а⁴ = - 5,210 ^{– 4} а⁴ ;

 F_i = 4,0810 ^{– 4} а⁴ – 2,4610 ^{– 3} а⁴ = - 2,0510 ^{– 3} а⁴ ;

 a_ib_i F_i= 2,110 ^{– 4} а⁴ – 1,2410 ^{– 3} а⁴ = - 1,0310 ^{– 3} а⁴ .

Заносим результаты в табл. 21.

Определяем I_x(с) , I_у(с) , I_xу(с) :

I_x(с) =  I_{x i} +  F_i = 0,0202 a⁴ – 5,210 ^{– 4} а⁴ = 0,0197 а⁴ ;

I_у(с) =  I_{y i} +  F_i = 0,0115 a⁴ – 2,0510 ^{– 3} а⁴ = 0,00945 а⁴ ;

I_xу(с) = I_{x y i} = a_ib_i F_i = -7,8110 ^–3 а⁴–1,0310 ^–3 а⁴= -8,8410 ^–8 а⁴ .

6. Определяем главные центральные моменты инерции сече­ния

I_u = 0,0145 a⁴ + 0,0102 a⁴ = 0,0247 a⁴ = 0,0247(0,12)⁴ = 51210 ^{– 8} м⁴ ;

I_v = 0,0145 a⁴ - 0,0102 a⁴ = 0,0043 a⁴ = 0,0043(0,12)⁴ = 89,110 ^{– 8} м⁴ ;

Определяем угол  между осью Х_с главной центральной осью u :

= arctg(0,433) = 23,5.

Через центр тяжести сечения под углом  к оси Х_с на чертеже прово­дим ось u и перпендикулярно к ней ось v .

Задача К 2.6

Вычислить значения главных центральных моментов инерции, оп­ре­делить положение главных центральных осей сложного сечения, со­ставленного из пла­стины 20012 мм, швеллера № 20, двух равнобо­ких уголков № 8 (80808) (рис. 23).

Решение

1. Вычерчиваем се­чение в удобном масштабе.

2. Делим сечение на прос­тые части: 1 - правый уголок, 2 - ле­вый уголок, 3 - швеллер, 4 - пла­стина.

3. Проводим на­чаль­ные осиХ₀, У₀ . Т.к. сечение имеет верти­кальную ось симмет­рии, то ось У₀ на­правляем по оси симметрии, ось Х₀ – по границе меж­ду швеллером и угол­ками.

4. Готовим таб­лицу для записи ре­зульта­тов рас­чета (табл. 22).

Рис. 23

Так как сечение имеет вер­тикальную ось симмет­рии, то центр тяжести его будет на­хо­диться на этой оси. Одна из главных цен­тральных осей будет совпадать с осью симметрии, другая будет проходить че­рез центр тяжести перпенди­кулярно оси симметрии. В свя­зи с этим данные столбцовI_xy и а_i b_i F_i для расчетов не потребуются и эти столбцы можно исключить из таб­лицы.

Таблица 22

Часть	хс, см	ус, см	Fi, см2	Ix, см4	Iy, см4	аi, см	bi, см	, см4	, см4
1	2,87	2,27	12,3	73,36	73,36	-1,17	2,87	16,8	101
2	-2,87	2,27	12.3	73,36	43,36	-1,17	-2,87	16,8	101
3	0	-2,07	23,4	113	1520	5,51	0	710	0
4	0	10	24	800	288	6,56	0	1032	0
Сечение	0	3,44	72	1060	1670	---	---	1775	202

Для упрощения работы с числами все вычисления выполняем в см, см², см⁴.

Координаты центров тяжести вычисляем с учетом размеров час­тей и данных по положению центров тяжести уголка и швеллера в табли­цах сортамента по ГОСТ 8509-86 и ГОСТ 8240-72.

1 – уголок правый x_c = z₀+ = 2,27 + 0,6 = 2,87 см;

y_c = z₀ = 2,27 см.

2 – уголок левый x_c = - z₀ - = - 2,27 - 0,6 = - 2,87 см;

y_c = z₀ = 2,27 см.

3 – швеллер x_c = 0; y_c = - z₀ = - 2,07 см.

4 – полоса x_c = 0; y_c = = = 10 см.

Заносим эти данные в табл. 22. Через центры тяжести частей прово­дим их централь­ные оси параллельные осям Х₀ У₀.

Площади и моменты инерции уголков и швеллера берем из таблиц сорта­мента и заносим в табл. 22. Для полосы вычисляем их по из­вест­ным формулам

F = bh = 1,220 = 24 см²; см⁴;

см⁴.

Определяем площадь сечения

F = F_i = 12,3 + 12,3 + 23,4 + 24 = 72 см².

Определяем координаты центра тяжести сечения x_c = 0, т.к. ось У₀ яв­ляется осью симметрии и центр тяжести находится на этой оси:

Через центр тяжести сечения проводим центральные оси Х_с У_с. Опре­деляем a_i , b_i , F_i , F_i.

1 – утолок правый:

а₁ = у_с1 – у_с = 2,27 – 3,44 = - 1,17 см ;

b₁ = х_с1 – х_с = 2,87 – 0 = 2,87 см ;

F₁ = (-1,17)² 12,3 = 16,8см⁴ ;

F₁ = 2,87² 12,3 = 101см⁴.

2 – уголок левый:

а₂ = у_с1 – у_с = 2,27 – 3,44 = - 1,17 см ;

b₂ = х_с1 – х_с = - 2,87 – 0 = - 2,87 см ;

F₂ = (-1,17)² 12,3 = 16,8см⁴ ;

F₂ = (-2,87)² 12,3 = 101см⁴.

3 – швеллер:

а₃ = у_с3 – у_с = -2,07 – 3,44 = - 5,57 см ;

b₃ = х_с3 – х_с = 0 – 0 = 0 см ;

F₃ = (- 5,57)² 23,4 = 710см⁴ ;

F₃ = 0.

4 – полоса:

а₄ = у_с4 – у_с = 10 – 3,44 = 6,56 см ;

b₄ = х_с4 – х_с = 0 – 0 = 0 см ;

F₄ = 6,56² 24 = 1032см⁴ ;

F₄ = 0.

Заносим результаты вычислений в табл. 22.

Вычисляем:

 I_{x i} = 73,36 + 73,36 + 113 + 800 = 1060 см⁴ ;

 I_{y i} = 73,36 + 73,36 + 1520 + 2,88 = 1670 см⁴;

 F_i = 16,8 + 16,8 + 710 + 1032 = 1775 см⁴;

 F_i = 101 + 100 = 202 см⁴.

Вычисляем:

I_x(с) =  I_{x i} +  F_i = 1060 + 1775 = 2835 см⁴ ;

I_у(с) =  I_{y i} +  F_i = 1670 + 202 = 1872 см⁴.

5. Т.к. сечение имеет ось симметрии, то главная центральная ось U совпадает с осью Х_с, главная центральная ось V - с осью У_с.

I_u = I_x(c) = 2835 см⁴ = 283510^-8 м⁴;

I_v = I_у(c) = 1872 см⁴ = 187210^-8 м⁴.