- •Неопределенный интеграл
- •План 2009
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Интегрирование по частям
- •Сведения из теории
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Простейшие интегралы,
- •Интегрирование неправильных рациональных дробей
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Тригонометрические интегралы
- •Сведения из теории
- •Интегралы вида
- •Интегралы вида ,
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование по частям в определенном интеграле. Замена переменной в определенном интеграле
- •Свойства определенного интеграла
- •Примеры решения задач
- •Несобственные интегралы с бесконечными пределами
- •Сведения из теории
- •Несобственные интегралы от неограниченных функций
- •Площадь плоской фигуры. Объем тела вращения
- •Полярные координаты. Вычисление площадей в полярных координатах
- •Длина дуги кривой. Площадь поверхности вращения
- •Библиографический список
Полярные координаты. Вычисление площадей в полярных координатах
Сведения из теории
На плоскости задана полярная система координат, если выбраны 1) точка , называемаяполюсом, 2) луч , выходящий из точкии называемыйполярной осью (рис.11а).
Полярными координатами точки называются числа:полярный радиус иполярный угол угол, на который надо повернуть полярную ось для того, чтобы её направление совпало с направлением вектора (рис.11а).
Если на плоскости задана прямоугольная декартова система координат , тосвязанная с ней полярная система координат выбирается так, чтобы полярная ось совпала с положительной полуосью(рис. 11б). Тогда выражение декартовых координат точки через её полярные координаты имеет вид:
, ,
а выражение полярных координат через декартовы координаты
, ,
Площадь фигуры , ограниченной непрерывной кривой, имеющей в полярных координатах уравнение,и лучами,(рис.12) находится по формуле
.
Примеры решения задач
Построить кривую, заданную в полярных координатах уравнением (кардиоида). Найти площадь фигуры, ею ограниченной.
◄ 1) Построение кардиоиды. Построим сначала дугу кардиоиды, соответствующую значениям . Так как функцияна отрезкеубывает отдо, а на отрезкевозрастает отдо, то изображающая точка двигается по лучу, вращающемуся вокруг полюса ( угол поворота), приближаясь к полюсу, когда меняется отдо, и, удаляясь от него, когдаменяется отдо( расстояние до полюса). Для более точного построения отметим положение изображающей точки на лучах ,, найдя предварительно соответствующие значения полярного радиуса(табл.3), и соединим полученные точки плавной линией (рис.13).
Таблица 3
0 | |||||||||
2 |
1 |
0 |
1 |
2 |
Так как функция имеет период, то вся кардиоида получается из построенной дуги поворотами на углы,, и, следовательно, совпадает с этой дугой.
2) Вычисление площади. Фигура , заштрихованная нарис.13, ограниченна дугой и лучами,. Согласно формуле (5.3) её площадь
.
В силу симметрии кардиоиды площадь фигуры, ею ограниченной
. ►
Построить кривую, задаваемую в полярных координатах уравнением ,(трехлепестковая роза). Найти площадь фигуры, ею ограниченной.
◄1) Построение кривой. Функция имеет период. Поэтому достаточно построить часть кривой, соответствующую. Вся кривая получится из нее поворотами на углы,. На отрезкефункциявозрастает отдо, а на отрезкеона убывает отдо(см.рис.14 графика этой функции). Поэтому дуга ,, имеет вид, изображенный нарис.15 жирной линией.
При , и так как полярный радиус, то на кривой нет точек с полярным углом.
Теперь, поворачивая построенную часть кривой на углы ,, получим кривую, состоящую из трех “лепестков”(рис.15).
2) Вычисление площади. Площадь фигуры , ограниченной дугой,,
.
Площадь фигуры , ограниченной всей кривой
. ►
Найти площади фигур, ограниченных линиями
, .
◄ Уравнение равносильно уравнениюи потому задает окружность радиусас центром в точке (1,0). Уравнениезадает прямую, проходящую через начало координат. Фигурыи, которые они ограничивают, изображены нарис.16.
Перейдем в уравнениях к полярным координатам. По формулам получаем
или ;
, ,,.
Поэтому фигура ограниченна дугой,и лучами,. Её площадь
.
Площадь фигуры :. ►
Кривая задана в полярных координатах уравнением . Записать уравнения кривой в декартовых координатах.
◄ По формулам получаем
.►
Задачи для самостоятельного решения
Изобразить кривые, заданные в полярных координатах уравнениями а) , б).
Точки изаданы декартовыми координатами. Найти их полярные координаты для случаев а),; б) ,.
В задачах 5.3.2-5.3.6 найти площади фигур, ограниченных указанными кривыми.
Дугой логарифмической спирали ,, и лучом.
Кардиоидой ,.
Лемнискатой Бернулли ,.
, .
, .