- •Неопределенный интеграл
- •План 2009
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Интегрирование по частям
- •Сведения из теории
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Простейшие интегралы,
- •Интегрирование неправильных рациональных дробей
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Тригонометрические интегралы
- •Сведения из теории
- •Интегралы вида
- •Интегралы вида ,
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование по частям в определенном интеграле. Замена переменной в определенном интеграле
- •Свойства определенного интеграла
- •Примеры решения задач
- •Несобственные интегралы с бесконечными пределами
- •Сведения из теории
- •Несобственные интегралы от неограниченных функций
- •Площадь плоской фигуры. Объем тела вращения
- •Полярные координаты. Вычисление площадей в полярных координатах
- •Длина дуги кривой. Площадь поверхности вращения
- •Библиографический список
Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование по частям в определенном интеграле. Замена переменной в определенном интеграле
Сведения из теории
Если известна первообразная для функциина отрезке, то определенный интеграл отпо отрезкуможно вычислить поформуле Ньютона-Лейбница
.
Формула интегрирования по частям в определенном интеграле:
,
где ,– функции, имеющие нанепрерывные производные, а,.
Формула замены переменной в определенном интеграле:
,
где – непрерывная функция,– монотонная функция, имеющая непрерывную производную, а,.
Примеры решения задач
Вычислить .
◄ Используем формулу Ньютона-Лейбница :
. ►
Вычислить .
◄ .
Замечание. Для инженера ответ, полученный в такой форме, обычно не является окончательным. Его следует записать в виде десятичной дроби с нужным числом знаков. Например, в рассматриваемом случае, получаем 1,07 с точностью . ►
Вычислить .
◄ Применим метод интегрирования по частям – формулу .
. ►
Вычислить .
◄ Сделаем замену переменной – обозначим . Тогда,. Найдем пределы интегрирования по новой переменной: приимеем, приимеем. По формуле
.►
Вычислить , если.
◄ Сначала вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница: . Теперь. ►
Замечание. Интегралы в примерах 2.2.1–2.2.4 – конкретные числа и их можно вычислить приближенно с любой точностью, не используя формулы Ньютона-Лейбница. В примере 2.2.5 интеграл зависит от параметраи его приближенное вычисление возможно только при конкретных числовых значениях, поэтому без формулы Ньютона-Лейбница обойтись нельзя.
Вычислить .
◄ Сделаем замену переменной – обозначим . Тогда,. Найдем пределы интегрирования по новой переменной: приимеем, приимеем.
По формуле
.►
Задачи для самостоятельного решения
Вычислить интегралы:
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Свойства определенного интеграла
Сведения из теории
Линейность интеграла.
,
.
Аддитивность интеграла.
.
Интегрирование неравенств.
Если , то.
Оценка модуля интеграла.
().
Среднее значение функции. Теорема о среднем.
Число
находится между нижней и верхней гранью функции на отрезке. Это число называетсясредним значением функции на отрезке . Интегральнаятеорема о среднем: если непрерывная функция на отрезке , то существует точка, в которой значение функции совпадает с ее средним: , или в подробной записи
.
Перестановка местами верхнего и нижнего пределов интегрирования меняет знак интеграла:
.
Производная интеграла как функции верхнего предела.
Если , то.
Интеграл от четной и нечетной функции по симметричному отрезку.
Если – нечетная функция на отрезке , то.
Если – четная функция на отрезке , то.
Интеграл от периодической функции по отрезку длины периода.
Если –периодическая функция периода , то
.