8. Несобственные интегралы от неограниченных функций

1. Сведения из теории

Пусть функция определена и непрерывна во всех точках отрезказа исключением точки, в любой окрестности которой она неограниченна. Тогдане существует в обычном смысле, как предел интегральных сумм. В этом случае полагают

при ,

при ,

при .

Если пределы, стоящие в правых частях этих формул, существуют и конечны, то соответствующие интегралы называют сходящимися, в противном случае – расходящимися.

2. Примеры решения задач

   1. Вычислить несобственный интеграл (или доказать его расходимость).

◄ Подынтегральная функция неограниченна в любой окрестности точки  левого конца отрезка интегрирования (). Поэтому интеграл следует понимать как несобственный:

. ►

2. Вычислить несобственный интеграл (или доказать его расходимость).

◄ Подынтегральная функция неограниченна в любой окрестности точки , лежащей внутри отрезка интегрирования(). Поэтому, интеграл является несобственным.

По определению , если конечные пределы в правой части этого равенства существуют, ирасходится, если хотя бы один из этих пределов бесконечен или не существует.

Так как на самом деле ,

то  расходится. ►

3. Задачи для самостоятельного решения

В задачах 12.3.1-12.3.4 вычислить несобственные интегралы (или доказать их расходимость).

.	.
.	.

8. Площадь плоской фигуры. Объем тела вращения

1. Сведения из теории

Площадь фигуры (рис.2), ограниченной прямыми и, осьюи графиком непрерывной функции(при) находится по формуле

.

Объем тела, полученного вращением фигуры вокруг оси(рис.3) находится по формуле

.

Площадь фигуры (рис.4), ограниченной прямымии, графиками непрерывных функцийи(при), находится по формуле

.

2. Примеры решения задач

   1. Вычислить площадь фигуры , заданной неравенствами

, .

◄ Фигура изображена на рис.5. Она ограничена прямымии, графиком функции(при) и осью. Поэтому её площадь можно найти по формуле .

. ►

2. Вычислить площадь фигуры , ограниченной линиями

, ,().

◄ Форма фигуры (рис.6) не позволяет непосредственно применить формулы или . Разобьем на фигурыи, площади которых уже можно найти по формуле .

Найдем сначала координаты точек и.

,

.

Поэтому фигура ограничена прямымии, графиками функциии(при этомдля).

.

Фигура ограничена прямымии, графиками функциии(при этомдля).

Её площадь

.

Теперь . ►

3. Найти площадь фигуры , ограниченной линиямии.

◄

Это уравнение параболы с вершиной в точке , осью симметрии, ветви параболы направлены влево(рис.7).

Найдем координаты точек и(рис.7).

Площадь фигуры удобнее вычислить по формуле, полученной из формулы сменой ролейи. Фигураограничена прямымии, графиками функциии, поэтому

. ►

4. Вычислить площадь фигуры , ограниченной эллипсом(рис.8).

◄ В силу симметрии эллипса относительно осей координат, достаточно найти площадь той части фигуры, которая расположена в первой координатной четверти, и тогда. А так как,, тоограничена прямымии, осьюи графиком неотрицательной функции. Её площадь.

Сделаем в интеграле замену переменного ,.

При , при. Поэтому

, . ►

5. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси плоской фигуры, ограниченной параболойи прямой(рис.9).

◄ В силу симметрии параболы относительно осито же тело получается при вращении фигуры, ограниченной прямымии, осьюи верхней половиной параболы. Поэтому объемтела можно найти по формуле

. ►

3. Задачи для самостоятельного решения

В задачах 13.3.1-13.3.10 найти площади фигур, заданных ограничивающими их линиями или неравенствами.

, .	, ,.
.	, ,
,	,
, , , , .	, , .
, .	,

11. Найти объем конуса (рис.10).

В следующих задачах найти объемы тел, полученных вращением вокруг оси плоских фигур, ограниченных указанными линиями.

12. Эллипсом (рис.8).

13. Гиперболой и прямой.

14. , ,,.