2. Интегралы вида ,

где хотя бы одно из чисел m или n нечетное целое число

Пусть, например, – нечетно. Тогда

(замена ),

то есть интеграл сводится к сумме табличных интегралов от степеней.

3. Интегралы вида ,

где m и n четные целые числа

Если m и n четные целые положительные числа, то используем формулы понижения степени

4. Интегралы от произведений синусов и косинусов

различных аргументов

Для их вычисления используются тригонометрические формулы

.

.

.

2. Примеры решения задач

1. Вычислить .

◄ Сделаем универсальную подстановку . Используя формулы , получаем

.►

2. Вычислить .

◄

►

3. Вычислить .

◄

►

4. Вычислить .

◄ Так как ивходят в подынтегральную функцию в чётных степенях, то можно сделать подстановку , . Используя формулы , получаем

►

5. Вычислить .

◄

►

6. Вычислить .

◄

.►

7. Вычислить .

◄ Используем то обстоятельство, что косинус стоит в нечётной степени.

.►

8. Вычислить .

◄ Для вычисления этого интеграла от произведения синуса и косинуса в чётных степенях используем формулы понижения степени .

. ►

9. Вычислить .

◄ Используем формулу :

►

3. Задачи для самостоятельного решения

Вычислить интегралы.

.	.

6. Интегрирование некоторых иррациональных функций

7.1. Сведения из теории

Далее будем обозначать – рациональную функцию аргументов.

7.1.1. Интегралы вида ,

где – целые числа, с помощью подстановки где n – общий знаменатель дробей сводятся к интегралам от рациональных функций переменнойt.

7.1.2. Интегралы вида

;

;

с помощью тригонометрических подстановок, соответственно,

в , в и в

приводятся к тригонометрическим интегралам вида , рассмотренным в п.6.

7.1.3. Интегралы вида

Выделив полный квадрат в квадратном трёхчлене

и сделав замену переменных , получим интеграл одного из видов , или .

2. Примеры решения задач

1. Вычислить .

◄

. ►

2. Вычислить .

◄ =

. ►

3. Вычислить .

◄ Рассматриваемый интеграл имеет вид . Поэтому делаем тригонометрическую подстановку ,.

=

►

4. Вычислить .

◄ Рассматриваемый интеграл имеет вид . Поэтому делаем тригонометрическую подстановку ,.

=

. ►

5. Вычислить ,.

◄ Рассматриваемый интеграл имеет вид . Поэтому делаем тригонометрическую подстановку (.

. Произведем обратную замену:

. ►

6. Вычислить .

◄

.►

2. Задачи для самостоятельного решения

Вычислить интегралы от иррациональных функций.

.
.
.

7. Понятие определенного интеграла.

Приближенное вычисление определенного интеграла

1. Основные понятия и формулы (и аналогично в дальнейшем ?)

Пусть функция определена на отрезке. Разобьем этот отрезок точкамина частичные отрезки,, длины. Наибольшую из этих длинназовеммелкостью разбиения. В каждом из частичных отрезков выберем точку(рис. 1). Составим интегральную сумму

.

Определенным интегралом от функции по отрезку (в пределах отдо) называется число (оно обозначается), равное пределу интегральных сумм при неограниченном измельчении разбиения:

.

Точно это означает следующее: для любого найдется такое, что для любого разбиения с мелкостьюпри любом выборе точеквыполняется неравенство

.

Для функций, непрерывных или кусочно-непрерывных на отрезке , определенный интеграл по этому отрезку существует –функция интегрируема по отрезку .

Полагают также, что

при ; и.

Из определения интеграла следует и простейший метод его приближенного вычисления – метод прямоугольников. Разбиваем отрезок на достаточно большое числоравных отрезков длины, заберем середину-го отрезка¹ . В качестве приближенного значения интеграла принимаем интегральную сумму:

.

Каждое слагаемое в интегральной сумме является площадью прямоугольника с высотой и основанием(рис.1), откуда и происходит название метода.

Оценка точности метода прямоугольников: если при некотором значении , тос точностью до.

2. Примеры решения задач

   1. Вычислить по определению, как предел интегральных сумм.

◄ Отрезок интегрирования разобьем точками,,на частичные отрезки,, одинаковой длины. Возьмем,. Составим интегральную сумму для функции

.

В скобках стоит сумма первых членов геометрической прогрессии со знаменателеми первым членом. Она равна

.

Поэтому интегральная сумма

.

Вычислим теперь интеграл как предел интегральных сумм при ().

.►

2. Вычислить приближенно методом прямоугольников (методом средних) с точностью до.

◄ Разобьем отрезок наравных отрезков. Их длина. Поэтому точки деления,,,,. Составим табл. 1.

Таблица 1

1	0,1	1, 0005
2	0,3	1,0134
3	0,5	1,0607
4	0,7	1,1589

По формуле прямоугольников

.

Разобьем отрезок наравных отрезков. Их длина. Поэтому точки деления,,, …,. Составим табл. 2.

Таблица 2

1	0,05	1,0001
2	0,15	1,0017
3	0,25	1,0078
4	0,35	1,0212
5	0,45	1,0446
6	0,55	1,0800
7	0,65	1,1290
8	0,75	1,1924

По формуле прямоугольников

.

Поскольку , то с точностью до. Округляя до сотых, получаем окончательно.

Замечание. Для другой подынтегральной функции или при другом могло бы оказаться, что. Тогда для достижения заданной точностиследует продолжить вычисление интегральных сумм,,, … до тех пор, пока абсолютная величина разности двух соседних членов этой последовательности не станет. ►

3. Задачи для самостоятельного решения

   1. Вычислить интеграл

а) по определению как предел интегральных сумм,

б) приближенно методом прямоугольников с точностью 0,01 .

Указание. В пункте а) использовать равенство

.

2. Вычислить пределы

а) , б).

Указание. Записать эти пределы как пределы интегральных сумм. Соответствующие интегралы вычислить по формуле Ньютона-Лейбница (2.1).