4. Интегрирование неправильных рациональных дробей

С помощью деления “уголком” неправильную дробь можно представить в виде суммы многочлена (целой части) и правильной дроби (см. задачу 5.2.4); тем самым интегрирование неправильной дроби сводится к рассмотренной выше задаче интегрирования правильной дроби.

2. Примеры решения задач

1. Вычислить .

◄ Рассматриваемая дробь правильная, так как степень числителя меньше степени знаменателя. Знаменатель дроби разложим на линейные множители: .

Теперь ищем разложение дроби на сумму простейших в виде

,

где A, B и C подлежат определению. Множителю x в знаменателе соответствует простейшая дробь , множителю– дробь, множителю– дробь.

Для нахождения A, B и C приведём правую часть к общему знаменателю

.

Так как знаменатели дробей, стоящих слева и справа одинаковые, то должны быть равны и числители:

.

Полагая в этом тождестве x равным корням знаменателя, получаем уравнения для нахождения А, В и С:

Итак,

.

.►

2. Вычислить .

◄ Дробь, стоящая под знаком интеграла, правильная. Её знаменатель разлагается на линейные множители

.

Поэтому разложение дроби в сумму простейших имеет вид

.

Здесь первые три слагаемых соответствуют множителям x (их три), а четвёртое – множителю . Приводим правую часть этого равенства к общему знаменателю, и приравниваем числители

или

.

Для нахождения неизвестных A, B, C, D используем равенство коэффициентов при одинаковых степенях x в многочленах, стоящих справа и слева от знака равенства.

Поставляя найденные значения A, B, C, D в и интегрируя, получаем

.►

5.2.3. Вычислить .

◄ Дробь правильная. Знаменатель разлагается в произведение линейного и квадратичного множителей: .

Квадратный трёхчлен имеет отрицательный дискриминант и на линейные множители не разлагается. Поэтому

.

Освободимся от знаменателя и найдём A, B и С, используя те же приёмы, что и в предыдущих примерах.

,,

. ►

5.2.4. Вычислить .

◄ Дробь, стоящая под знаком интеграла, неправильная, поэтому её надо представить в виде суммы многочлена (целой части) и правильной дроби, выполнив деление многочлена (числителя дроби) на многочлен (знаменатель дроби).

Получаем . Дробьправильная. Её можно представить в виде суммы двух простейших дробей(выкладки мы опустили). Поэтому

=

. ►

3. Задачи для самостоятельного решения

Вычислить интегралы от рациональных дробей.

3. Тригонометрические интегралы

1. Сведения из теории

1. Интегралы вида

.

Символом здесь обозначена рациональная функция аргументовu и v – отношение многочленов от этих переменных.

Этот интеграл с помощью «универсальной подстановки»

сводится к интегралу от рациональной функции переменной t. При этом используются формулы:

К сожалению, рациональная дробь получается обычно громоздкой. В этих случаях следует постараться использовать специфику конкретной задачи. Например, если ивходят в подынтегральную функцию в чётных степенях или в виде отношения, то удобно сделать подстановку, ибо в этом случае

рационально выражаются через t.