Кусочно-линейная интерполяция

Этот вид интерполяции используется, когда значения функции от одного табличного значения к другому изменяются с мало отличающейся скоростью. При этом координаты табличных точек соединяются отрезками прямых.

1) Создадим функцию для кусочно-линейной интерполяции и получения дополнительных точек между заданными. Назовём нашу функцию flin. В скобках зададим аргумент, то есть то значение, для которого нужно произвести интерполяцию. Воспользуемся для этого стандартной функциейlinterp(Vx,Vy,x).

2) Получим значения для промежуточных точек для кусочно-линейной интерполяции. В нашем случае заданные значения хизменяются от 1 до 5.

В последнем случае мы задали значение х, выходящее за пределы вектораX. То есть мы провели линейную экстраполяцию за пределы известного интервала.

3) Для построения графика этой функции создадим массив координат z, состоящий изNчленов. Введём ранжированную переменнуюj и создадим векторz.

4) С использованием созданной нами функции flinпостроим график кусочно-линейной интерполирующей функции (рис. 10). При использовании ранжированной переменнойjбудет определено 100 значений для исследуемого интервала, по 6 точкам вектораdata. Добавьте на этот график зависимостьY_i=F(X_i). Отформатируйте график, чтобы на нём были только линии от функцииflin(), и точкиY_i=F(X_i) . При задании формата этого графика на вкладкеСлед в полесимволы необходимо для первого графика выбратьnone, а для второго вид точки.

Рисунок 10 – График кусочно-линейной интерполирующей функции

Интерполяция с помощью сплайнов

Для более точного представления данных в промежуточных точках используем сплайн интерполяцию, в которой искомая функция представлена отрезками кубических полиномов, проходящих через три узловые точки. Коэффициенты полиномов рассчитываются так, чтобы непрерывными были первая и вторая производные.

Используем две стандартные функции:

Функция cspline(Vx,Vy)возвращает векторVsвторых производных при приближении в опорных точках к кубическому полиному, используя в качестве точек интерполяции векторыVxиVy.

Функция interp(Vs,Vx,Vy,x)возвращает значениеy(x)для заданных векторовVx,Vy, Vs.

1) Создадим нашу функцию, которую назовём fspl(x), которая использует вектор вторых производныхVs. Причём аргументом этой функции может быть любое действительное число.

2) Для проверки получите значения функций при тех же значениях х, что и для кусочно-линейной интерполяции и сравните полученные значения.

Как видно, в значениях Х, соответствующих табличным для обеих функций совпадают, а для промежуточных значительно отличаются.

3) Построим график для сплайн интерполяции (рис. 11), используя ранее созданный вектор z. Для наглядности на графике даны точки, по которым производилась интерполяция. Они соответствуют ранее построенному графику. Для создания этого дополнительного графика необходимо в поле около вертикальной оси ввести запятую, а затем ввестиY_i.Аналогичные действия следует произвести для поля внизу графика, и ввестиX_i.

Рисунок 11 – График сплайн интерполяции с помощью кубических полиномов

Экстраполяция для точки z=6 при сплайновой интерполяции получена с учётом четырёх последних точек, поэтому есть больше оснований полагать, что она лучше соответствует моделируемому процессу. Как видно вместо монотонного роста функции приZ> 5, который даёт кусочно-линейная интерполяция, при экстраполяции сплайнами получено возрастание в ограниченном диапазоне доz=5,5, а затем прогнозируется резкое уменьшение.

Следует отметить, что экстраполяция по интерполирующим функциям всегда рискованна и не обладает высокой надежностью. Следует это учитывать и не проводить экстраполяцию за пределы, превышающие половину шага значений, используемых для интерполяции. В нашем случае это 0,5. Если использовать такое правило, то экстраполяция до 5,5 и для кусочно-линейной и сплайновой интерполяции дает близкие результаты.

ПРИМЕРНЫЕ ТЕМЫ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ РАБОТ

Тема самостоятельной работы избирается студентом на основе нижеприведён­ного примерного перечня тем по согласованию с преподавателем, ведущим дисциплину. Выбранная тема работы регистрируется преподавателем в своем журнале в течение третьей недели семестра. При необходимости формулировка темы может быть уточнена в течение первых пяти недель семестра.

В качестве рекомендуемых студентам предлагаются нижеследующие темы:

1. Аграрная информационная система области.

2. Система информационных процессов на сельскохозяйственном предприятии.

3. Система производства сельскохозяйственной продукции в фермерском хозяйстве …..

4. Аграрная финансовая система России.

5. Системный анализ интеграционных формирований среди мелких хозяйств сельскохозяйственного производства.

6. Система обеспечения молоком молокозаводов региона.

7. Систем обеспечения сырьем мясоперерабатывающих предприятий.

8. Система агропромышленного производства в мясном комплексе региона.

9. Система агропромышленного производства в зерновом комплексе региона.

10. Система агропромышленного производства в овощном комплексе региона.

11. Система реализации заложенных и не выкупленных активов в интересах кредитной организации.

12. Система кредитования сельскохозяйственного банка.

13. Система бюджетной поддержки сельскохозяйственных организаций.

14. Система внешнеторговых отношений АПК региона.

РЕКОМЕНДАТЕЛЬНЫЙ БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Анфилатов, В. С. Системный анализ в управлении : [учеб. пособие для вузов] / В.С. Анфилатов, А. А. Емельянов, А. А. Кукушкин. - М. : Финансы и статистика, 2009. - 368 с.

2. Богданов Е. П. Математический пакет Mathcad: Методические указания к лабораторным работам для студентов всех форм обучения специальности 080502 «Экономика и управление на предприятии», 080111 «Маркетинг», «Финансы и кредит». – Волгоград: ВФ ОУ ВПО ЦС РФ «МУПК», 2005. – 48 с. Электронная версия.

3. Дрогобыцкий, И. Н.   Системный анализ в экономике : учеб. пособие для вузов / И. Н. Дрогобыцкий. - М.: Финансы и статистика, 2007. - 512 с.

4. Есипов Б. А. Методы исследования операций : учеб. пособие / Б. А. Есипов. - СПб. : Лань, 2010. - 256 с.

5. Новиков, Д.А. Теория управления организационными системами. / Д.А. Новиков. - М.: МПСИ, 2005. - 584 с.

6. Новосельцев, В.И. Теоретические основы системного анализа / В.И. Новосельцев [и др.] ; под ред. В. И. Новосельцева. - М.:Майор, 2006. -592 с.

7. Охорзин, В. А.    Прикладная математика в системе MATHCAD : [учеб. пособие] / В. А. Охорзин. - 3-е изд., стер. - СПб. : Лань, 2009. - 352 с.

8. Попов, В. Н.    Системный анализ в менеджменте : учеб. пособие для вузов / В. Н. Попов, В. С. Касьянов, И. П. Савченко; под ред. В. Н. Попова. - М. : КНОРУС, 2007. - 304 с.

9. Тарасенко, Ф.П. Прикладной системный анализ (Наука и искусство решения проблем): Учебник. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. - 186 с.

Введение. 3

1. Классификация системы и описание закономерностей её функционирования и развития 4

2. Теоретико-множественное представление при моделировании систем 6

3. Информационное описание системы 10

4. Составление когнитивных схем 11

5. Классификация системы 14

6. Управление в системе 19

7. Оценка параметров входных и выходных потоков информации в Mathcad 22

8. Создание регрессионных зависимостей для моделирования и прогнозирования процессов 28

9. Линейная и сплайновая интерполяция 37

УЧЕБНОЕ ИЗДАНИЕ

Богданов Евгений Павлович

Методические указания

для выполнения самостоятельной работы

по дисциплине «Теория систем и системный анализ»

для подготовки бакалавров

по направлениям 080800, 230700 «Прикладная информатика»

В авторской редакции

Компьютерная верстка Е. П. Богданова

Подписано в печать 30.08.2012. Формат 60x84^1/16

Усл.-печ. л. 3,0. Тираж 50. Заказ ___.

ИПК «Нива» ФГБОУ ВПО Волгоградский ГАУ.