7. Оценка параметров входных и выходных потоков информации в Mathcad

1. Для одного из количественных показателей, содержащего достаточно много значений (N порядка 100 или более) (например число покупателей/чеков день, суммы выручки в день, количество входящих документов в день) выполнить следующие шаги:

1.1. Определить максимальное, минимальное значения, среднее арифметическое, среднеквадратическое отклонение, дисперсию, используя стандартные функции max(),min(),mean(),stdef(),var().

Пусть все значения сгруппированы в векторе V, содержащем 100 элементов. Этот вектор можно создать непосредственно вMathcad. Для этого создадим идентификаторV:= и на панели матриц выберем значок матрица или вектор (название появляется в подсказке) и укажем число строк 100, число столбцов 1. Для того чтобы были видны все компоненты вектора, его надо перетащить на вторую страницу или вставить выше вектора 20 строк, нажимая Еnter. После этого можно в каждое окно вектора ввести необходимые значения, не забывая, что разделителем целой и дробной части вMathcadявляется точка.

Если нужный вектор уже имеется в электронном виде, то для его импорта можно использовать мастер импорта, который вызывается в меню ВСТАВИТЬ => Данные, выбрать тип данных (текстовый с расширением txtилиExcel), в Обзоре выбрать файл, затем указать необходимые параметры. Например, если данные располагаются на Листе 1 в диапазоне А1:А100, указать в диалоговом окне эти параметры. В связи с тем, что русский шрифт в математических областях плохо воспринимается, в названии листа будет тарабарщина, но на результат импорта это не повлияет. Чтобы избежать неясностей название листа наберите латинскими буквами.

1.2. Построить гистограмму частот с количеством интервалов . Сначала нужно создать векторint, содержащий границы интервалов. Количество границ на единицу больше, чем число интервалов, поэтому используем ранжированную переменную

j:=0..G

Определим шаг вектора интервалов

и создадим вектор

int_j:=min(V)+shag*j

Затем с помощью стандартной процедуры hist() определите количество значений вектора V, попавших в каждый интервал. Как использовать функцию смотрите в справке к функции. Полученные значения присвойте вектору Р и постройте график частот распределения (рис. 2).

Ординаты этого графика зависят от величины интервала, так как с увеличением числа интервалов и уменьшением их размеров количество значений в интервале уменьшается.

Рисунок 2 – Диаграмма частот распределения

1.3 Величина независящая от количества интервалов называется плотностью распределения. Экспериментальную (эмпирическую) плотность распределения получают делением частоты на величину интервала.

1.3.1. Создайте вектор плотности распределения

и постройте график . На том же графике постройте теоретические графики плотности равномерного распределения с границами соответствующими минимальному и максимальному значениям вектораV

.

1.3.2. На другом графике постройте график плотности нормального распределения с теми же параметрами (среднеквадратическим отклонением и математическим ожиданиемчто имеет ваш векторV. Для построения используйте стандартную функциюpnorm(x,).Предварительно создайте вектор, заведомо перекрывающий интервал между экстремальными значениями вектораV. Вместо вектора можно использовать ранжированную переменную с мелким шагом, например

x:=min(V)-2, min(V)-2+0.1..max(V)+2

Здесь цифра 2 обеспечивает перекрытие возможного интервала изменения компонент вектора V. Шаг данной ранжированной переменной 0.1.

Пример построения теоретической функции плотности нормального распределения с помощью стандартной функции pnorm()и собственной функции пользователя рассмотрен в методических указаниях [2], лабораторная работа № 5. На рис. 3 пунктирной линией показана теоретическая функция плотности для нормального распределения с математическим ожиданиеми средним квадратическим отклонением, полученная с помощью функции пользователя, созданной в этой лабораторной работе.

Рисунок 3 – Функции плотности и вероятности для нормального закона распределения (пояснения в тексте).

Жирная кривая соответствует функции вероятности (интегральной функции) нормального распределения с теми же параметрами. Вертикальными линиями, ответствующие значениям a,b,cна оси абсцисс, показаны особые квантили, соответствующие определенным вероятностям 75%, 90%, 95%, которые часто используют для оценки статистик. Эти особые квантили часто называют персентилями или процентилями (персент - процент).

1.4. Построить график экспериментальной вероятности (накопленной плотности). Для этого сумму количества значений, попавших с нулевого по k–ый интервал, находим помощью функции

.

Отношение g(k)к общему числу членов в выборке, которое можно найти с помощью этой же функцииgg(G) илиP=N, даёт оценку эмпирической вероятности от минус бесконечности до правой границыk-го интервала. Так как количество интервалов меньше на один, чем число границ, то переопределим

j:=0..G-1.

При построении графика эмпирической вероятности используйте не границы интервалов int, а их центры. Для этого введен вектор

.

График и будет оценкой эмпирической вероятности распределения вашего вектора.

Для примера на рис. 4 показан точками график эмпирической зависимости вероятности для вектора, полученного стандартной функциейrnorm(), а сплошной линией – график теоретической зависимости с такими же параметрами, полученными стандартной функциейpnorm().

Учтите, что такого хорошего соответствия экспериментальной вероятности для вашего вектора Vи теоретической вероятности может и не наблюдаться.

Рисунок 4 – График теоретической и экспериментальной (точки) вероятности для нормального закона распределения.

С помощью стандартной функции постройте теоретический график вероятности для нормального закона с параметрамиопределенными для вашего случаяДля построения используйте ранее созданный векторх.

1.5. На другом графике повторите график экспериментальной вероятности для вектора Vи на нем же постройте график теоретической вероятности, соответствующий равномерному распределению с границамиa:=min(V), b:=max(V).Его можно получить с помощью функции

Например, график вероятности для равномерного распределения с границами а=2 и b=4 представлен на рис. 5. Вы должны использовать свои границы распределения, полученные с помощью функцийmin(V),max(V) и созданный ранее вектор или ранжированную переменнуюх.

Рисунок 5 – Теоретический закон изменения вероятности для равномерного распределения.

Выскажите свое мнение, к какому закону ближе рассматриваемое распределение для вектора V.

Учтите, что законов распределения значительно больше, чем рассмотрено в данном методическом указании и для выбора теоретического закона, который надежно описывал бы экспериментальные данные, существуют различные критерии соответствия, которые дают количественную оценку соответствия. С ними вы детально познакомитесь при изучении теории вероятности и эконометрики. Здесь мы даем приближенную качественную оценку соответствия экспериментального закона двум рассмотренным законам.