Головизин_Лекции / Лекция 8. Формула Муавра. Корни из к.ч

Однако, вернемся к обсуждаемой задаче. Сначала Гаусс доказал, что с помощью циркуля и линейки можно построить только такие отрезки, длины которых выражаются в квадратных радикалах и только они. Гаусс использовал для решения задачи комплексные числа, в частности, корни из единицы. Так как корни из 1 делят окружность на равные дуги, то задача построения правильного n-угольника сводится к вопросу: при каких n корни n-й степени из 1 выражаются в квадратных радикалах. Здесь имеется ввиду их действительные и мнимые части. Таким образом, геометрическая задача была сведена к чисто алгебраической.

Обозначим через длину стороны правильного n-угольника. Гаусс нашел способ, с помощью которого ему удалось выразить число в квадратных радикалах и тем самым доказать, что с помощью циркуля и линейки можно построить правильный n-угольник.

Но Гаусс не был бы Гауссом, если бы он остановился на этом. Позднее он решил задачу полностью, выяснив при каких n задача построения правильного n-угольника может быть решена, а при каких нет. Чтобы понять этот результат нам понадобится одно определение.

Определение. Числа вида

,

где или , называются числами Ферма.

При , получаем . Далее,

, , , .

Первые пять чисел Ферма являются простыми числами, т.е. не имеют натуральных делителей, кроме 1 и самого себя. Однако, до сего момента не известно более ни одного простого числа Ферма. Более того, неизвестно, существует ли еще хотя бы одно простое число Ферма и эта проблема еще ждет своего юного гения.

Гаусс доказал следующую теорему.

Теорема. С помощью циркуля и линейки построить правильный n-угольник можно тогда и только тогда, когда

,

где или , а – различные между собой простые числа Ферма.

Замечание. Теорема утверждает только принципиальную возможность построения правильного n-угольника. Поэтому оставалась задача выразить сторону р-угольника в квадратных радикалах для оставшихся известных простых чисел Ферма и . Для числа 257 эту задачу решил немецкий математик Фридрих Ришелло. Решение занимает 80 страниц текста. Случай числа 65537 был выполнен О.Гермесом, который потратил на вычисления 10 лет, а сама работа не опубликована ввиду ее необъятных размеров и хранится в архивах Гёттингенсного университета. Интересно, можно ли составить программу для компьютера для решения этой задачи?

Гаусс очень ценил эту свою первую математическую работу и перед смертью просил высечь на своей могильной плите правильный 17-ти угольник. Увы, это не было сделано. Но в городе Брауншвейге стоит на 17-ти угольном постаменте памятник Карлу Фридриху Гауссу – королю математики.

Прошло всего 10 дней, а юный Карл Гаусс получил свой самый выдающийся результат, доказав квадратичный закон взаимности. Эту теорему многие математики считают одной из самых красивейших теорем математики.

Теорема. Для любых двух нечетных простых чисел р и q верно равенство

,

где и символы Лежандра.

Смотрите любой учебник по теории чисел.