все для алгема / Методические пособия по АГ / МП ПЗ АГ (электронный вариант) / МП ПЗ АГ ч.2 (электронный вариант)

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 26, с.15

Теорема. (Зеркальное свойство гиперболы.) Луч света, выпущенный из одного фокуса гиперболы после отражения от зеркала гиперболы кажется наблюдателю идущим из второго её фокуса.

Математическая формулировка зеркального свойства гиперболы имеет следующий вид.

Теорема. (Зеркальное свойство гиперболы.) Касательная к гиперболе является биссектрисой угла, образованного фокальными радиусами точки касания.

п.2. Список задач Список №1

1.Определить, лежит ли данная точка на данной гиперболе или нет.

2.Зная каноническое уравнение гиперболы, найти все её параметры: действительную и мнимую полуоси, координаты вершин и фокусов, фокусное расстояние, эксцентриситет, уравнения асимптот, уравнения директрис и расстояние между ними, фокальный параметр.

3.Изобразить гиперболу в ПДСК на плоскости, зная его каноническое уравнение.

4.Зная каноническое уравнение гиперболы и координаты какойнибудь её точки, найти фокальные радиусы этой точки.

5.Зная каноническое уравнение гиперболы и какой-нибудь её точки, найти уравнение её касательной в этой точке.

6.Найти каноническое уравнение гиперболы, если известны некоторые из её параметров (действительная или мнимая полуось, фокусное расстояние, эксцентриситет, расстояние между директрисами, уравнения асимптот, фокальный параметр), или в канонической для гиперболы системе координат известны координаты одной или двух из её точек.

7.Найти центр и главные оси гиперболы, заданной уравнением

Ax2 By2 Cx Dy E 0 .

Список №2

1.Построение гиперболы и вычисление всех её остальных параметров, если её действительной осью является ось ординат, а мнимой – ось абсцисс.

5

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 26, с.15

2.Найти уравнение гиперболы после выполнения параллельного переноса канонической системы координат на заданный вектор.

3.Найти уравнение касательной к гиперболе, проведенной через данную точку плоскости, или параллельной (перпендикулярной) данной прямой.

4.Определить взаимное расположение гиперболы и прямой.

5.Различные задачи, раскрывающие дополнительные свойства гиперболы, задачи повышенного уровня сложности.

мнимую полуоси, координаты вершин и фокусов, фокусное расстояние, эксцентриситет, уравнения асимптот, уравнения директрис и расстояние между ними, фокальный параметр. Построить чертеж, отметить на нем найденные параметры.

Решение. Смотрите рисунок 3.

B2 ( 2)

Рис. 3

Находим действительную и мнимую полуоси гиперболы: a2 9, b2 4 a 3, b 2 .

Находим координаты вершин гиперболы и отмечаем их на чертеже: A1 ( 3;0), A2 (3;0), B1 (0;2), B2 ( 2;0) .

Рисуем основной прямоугольник гиперболы (штриховой линией) со сторонами

x 3, y 2 ,

6

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 26, с.15

проводим его диагонали, и продолжаем их, изображая асимптоты ги-

перболы: y 23 x .

Осталось изобразить ветви гиперболы (смотрите рисунок 2). Найдем координаты фокусов гиперболы и фокусное расстояние:

и изображаем их на чертеже. Находим фокальный параметр гипербо-

Пример 2. Найти каноническое уравнение гиперболы, если его экс-

центриситет равен 1,5 и расстояние между директрисами равно 83 .

Решение. Так как ac 32 , 2d 2ac2 83 , где 2d обозначает расстоя-

ние между директрисами, то отсюда получаем систему двух уравне-

2c 3a

ний с двумя неизвестными а и с: , решая которую, получаем

3a2 4c

a 2, c 3 . Вычисляем b2 : b2 c2 a2 9 4 5 .

Пример 3. Убедиться, что точка М(–5; 2, 25) лежит на гиперболе

7

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 26, с.15

x2 y2 1, и найти её фокальные радиусы. 16 9

Решение. Подставляем координаты точки М в уравнение гиперболы:

откуда следует, что точка М лежит на гиперболе. Фокальные радиусы точки М(х,у) находим по формулам:

r1 | a x |, r2 | a x |.

Вычисляем эксцентриситет:

Пример 4. Эксцентриситет гиперболы равен 1,5, её центр лежит в начале координат, одна из директрис дана уравнением x 8 . Вычислить расстояние от точки М гиперболы с абсциссой, равной 14, до фокуса, соответствующего данной директрисе.

Решение. По условию задачи требуется вычислить фокальный радиус

Ответ: 33.

Пример 5. Найти каноническое уравнение гиперболы, если в канонической для гиперболы системе координат известны уравнения её

асимптот y 23 x , и одна из точек гиперболы имеет координаты М(4,5; –1).

8

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 26, с.15

Решение. Из уравнений асимптот находим, что ba 23 . Так как точка

М лежит на гиперболе, то её координаты удовлетворяют уравнению гиперболы, откуда находим

Получаем систему двух уравнений с неизвестными а и b. Решаем эту систему.

Возведем второе уравнение в квадрат и подставим в первое: 9b812 b12 1 b2 8 a2 94 b2 18 .

Ответ: x2 y2 1. 18 8

Пример 6. Найти уравнения касательных, проведенной к гиперболе

x2 y2 1, перпендикулярных прямой 4x 3y 7 0 . 20 5

Решение. Уравнение касательной к гиперболе, проведенной в точке M(xo ; yo ) гиперболы, имеет вид:

20xo x y5o y 1.

По условию данная прямая и касательная перпендикулярны, следовательно, скалярное произведение их нормальных векторов равно нулю:

Точка M(xo ; yo ) лежит на гиперболе, поэтому её координаты удовлетворяют уравнению гиперболы:

Имеем два уравнения с неизвестными xo и yo . Решаем получившуюся систему:

9

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 26, с.15

Подставляя xo из первого уравнения во второе, получаем

Имеем две точки касания: (6; 2) и (–6; –2). Подставляя их в уравнение касательной к гиперболе, получаем искомые уравнения касательных:

п.4. Задачи Задачи для аудиторного решения 26

1. Для гиперболы 16x2 9y2 144 найдите все его параметры: дейст-

вительную и мнимую полуоси, координаты вершин и фокусов, фокусное расстояние, эксцентриситет, уравнения асимптот, уравнения директрис и расстояние между директрисами, фокальный параметр. Постройте чертеж и отметьте на нем все найденные параметры.

2. Дано уравнение гиперболы 20x2 16y2 320 . Убедитесь, что точка

М(6; 5) лежит на эллипсе и найдите её фокальные радиусы. Найдите уравнение касательной к данному эллипсу, проходящей через точку М. Постройте чертеж.

3. Дано уравнение 16x2 9y2 64x 54y 161 0 . Убедитесь, что оно

определяет гиперболу, и найдите координаты её центра и уравнения главных осей. Найдите полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и уравнения директрис. Выполните чертеж.

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 26, с.15

уравнения асимптот y 23 x ; ж) уравнения асимптот y 34 x и

уравнения директрис x 165 .

Задачи повышенного уровня сложности 26

5. Для гиперболы 16x2 9y2 144 найдите полуоси, фокусы, эксцен-

триситет, уравнения асимптот и директрис. (Обозначения действительной и мнимой полуосей оставить такими же, как и в канонической для гиперболы системе координат.)

6.Составьте уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси ординат симметрично относительно начала координат, если

даны:

а) a 18, b 6 (буквой а по прежнему обозначает действительную

полуось); б) фокусное расстояние 2c 10 и эксцентриситет 53 ;

в) уравнения асимптот y 125 x и расстояние между действитель-

ными вершинами равно 48; г) расстояние между директрисами равно 507 и эксцентриситет 75 ; д) уравнения асимптот y 43 x

и расстояние между директрисами равно 6,4.

7. Определите взаимное расположение прямой и гиперболы: 2x y 10 0, 5x2 20y2 100 .

8. Определите, при каких значениях m прямая y 52 x m пересекает гиперболу 36x2 9y2 144 , касается её, проходит вне её.

9.Составьте уравнение касательных к гиперболе 64x2 16y2 1024 , параллельных прямой 10x 3y 9 0 .

10.Составьте уравнения касательных к гиперболе x2 y2 16 , прове-

денных из точки С(–1; –7).

11. Эксцентриситет гиперболы равен 2, центр её лежит в начале координат, один из фокусов F(12; 0). Найдите расстояние от точки гиперболы с абсциссой, равной 13, до директрисы, соответствующей данному фокусу.

11

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 26, с.15

12. Через левый фокус гиперболы 25x2 144y2 3600 проведен пер-

пендикуляр к её действительной оси. Найдите расстояние от фокусов до точек пересечения этого перпендикуляра с гиперболой.

13. Из правого фокуса гиперболы 4x2 5y2 20 под углом к оси

абсцисс направлен луч света. Найдите уравнение прямой, на которой лежит отраженный от гиперболы луч, если tg 2 .

14.Докажите, что произведение расстояний от любой точки гиперболы до двух её асимптот есть величина постоянная.

15.Докажите, что площадь параллелограмма, ограниченного асимптотами гиперболы и прямыми, проведенными через любую её точку параллельно асимптотам, есть величина постоянная.

16.Докажите, что произведение расстояний от фокусов гиперболы до любой её касательной есть величина постоянная.

17.Докажите, что эллипс и гипербола, имеющие общие фокусы, пересекаются под прямым углом.

Домашнее задание 26. Гипербола

1. Для гиперболы 9x2 16y2 144 найдите все её параметры: действи-

тельную и мнимую полуоси, координаты вершин и фокусов, фокусное расстояние, эксцентриситет, уравнения асимптот, уравнения директрис и расстояние между ними, фокальный параметр. Постройте чертеж и отметьте на нем все найденные параметры.

2. Дано уравнение 9x2 16y2 90x 32y 367 0 . Убедитесь, что оно

определяет гиперболу, и найдите координаты её центра и уравнения главных осей. Найдите полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и уравнения директрис. Выполните чертеж.

3.Найдите каноническое уравнение гиперболы, если даны: а) её действительная ось 2a 16 и эксцентриситет 1,25 ; б) расстояние

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 26, с.15

Самостоятельная работа 26

Вариант 1.

1.Определение фокальных радиусов точки гиперболы.

2.Для гиперболы x2 4y2 16 найдите: а) действительную и мнимую

оси; б) фокусное расстояние. Вариант 2.

1.Определение фокусного расстояния гиперболы.

2.Для эллипса 4x2 9y2 36 найдите: а) действительную и мнимую

оси; б) эксцентриситет. Вариант 3.

1.Определение эксцентриситета гиперболы.

2.Для гиперболы x2 9y2 36 найдите эксцентриситет и расстояние

между директрисами. Вариант 4.

1.Определение гиперболы.

2.Для гиперболы 4x2 25y2 100 найдите уравнения её асимптот, уравнения директрис и фокальный параметр.

п.5. Вопросы и задачи для самоконтроля 26 Обозначения

1.Обозначение фокальных радиусов точки гиперболы.

2.Обозначение действительной оси гиперболы.

3.Обозначение действительной полуоси гиперболы.

4.Обозначение фокусного расстояния гиперболы.

5.Обозначение мнимой оси гиперболы.

6.Обозначение мнимой полуоси гиперболы.

7.Обозначение эксцентриситета.

8.Обозначение расстояния между директрисами гиперболы.

9.Обозначение фокального параметра гиперболы.

10.Обозначение расстояния от точки гиперболы до её директрис.

Определения

1.Определение гиперболы.

2.Определение фокальных радиусов гиперболы.

3.Определение фокусного расстояния гиперболы.

4.Определение действительной оси и полуоси гиперболы.

5.Определение мнимой оси и полуоси гиперболы.

13

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 26, с.15

6.Определение эксцентриситета гиперболы.

7.Определение фокальной оси гиперболы.

8.Определение канонической для гиперболы системы координат.

9.Определение главных осей и центра гиперболы.

10.Определение вершин гиперболы.

11.Определение основного прямоугольника гиперболы.

12.Определение канонического уравнения гиперболы.

13.Определение директрис гиперболы.

14.Определение фокального параметра гиперболы.

Теоремы

1.Каноническое уравнение гиперболы.

2.Свойства гиперболы.

3.Асимптоты гиперболы.

4.Фокальные радиусы точек гиперболы.

5.Свойство директрис гиперболы.

6.Фокальный параметр гиперболы.

7.Уравнение касательной к гиперболе.

8.Зеркальное свойство гиперболы. Физическая и математическая формулировки.

Тест 26

1.Напишите каноническое уравнение гиперболы, если его действительная ось равна 4, а мнимая ось равна 6.

2.Определите, лежит ли точка М(4, –2) на гиперболе x2 5y2 4 ?

3.Найдите фокусное расстояние гиперболы x2 2y2 1.

4.Найдите эксцентриситет гиперболы x2 2y2 2 .

5.Найдите директрисы гиперболы x2 2y2 4 .

6.Найдите уравнения асимптот гиперболы 4x2 y2 1.

7.Найдите фокальный параметр гиперболы 4x2 3y2 1.

8.Напишите уравнение касательной проходящей через точку М(1; 1) к гиперболе 2x2 y2 1.

9.Найдите каноническое уравнение гиперболы, если известны расстояние между директрисами и эксцентриситет: 2d 32, 2 .

10.Найдите каноническое уравнение гиперболы, если известны мнимая ось и эксцентриситет: 2b 10, 1,5 .

14

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 27, с.11

Практическое занятие 27 Парабола

Краткое содержание: определение параболы, каноническая для параболы система координат и каноническое уравнение параболы, касательная к параболе, зеркальное свойство параболы, директриса и фокальный параметр параболы, ветви параболы.

п.1. Теория Определение. Параболой называется геометрическое место точек

плоскости, равноудаленных от одной фиксированной прямой, называемой директрисой, и одной фиксированной точки, называемой фокусом.

d

М

r

F

D

Рис. 1

Определение. Расстояние от произвольной точки М плоскости до фокуса параболы называется фокальным радиусом точки М.

Обозначения: F – фокус параболы, r FM – фокальный радиус точки М, d – расстояние от точки М до директрисы D.

По определению параболы, точка М является точкой параболы тогда и только тогда, когда r d .

Замечание. По определению параболы, её фокус и директриса являются фиксированными объектами, поэтому расстояние от фокуса до директрисы есть величина постоянная для данной параболы.

Определение. Расстояние от фокуса параболы до ее директрисы называется фокальным параметром параболы, и обозначается буквой р.

1

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 27, с.11

Определение. Ось, проведенная через фокус параболы перпендикулярно директрисе называется фокальной осью параболы.

Определение. ПДСК называется канонической для параболы, если её ось абсцисс совпадает с фокальной осью, направление на которой выбрано от директрисы к фокусу, а начало координат лежит посередине между фокусом и директрисой.

Замечание. Из определений следует, что в канонической для парабо-

лы системе координат фокус имеет координаты F(p2 ;0) , а директриса описывается уравнением x p2 .

Определение. В канонической для параболы системе координат, оси координат называются главными осями параболы.

Определение. Точка параболы, лежащая на её фокальной оси, называется вершиной параболы.

Теорема. (Каноническое уравнение параболы.) Парабола является кривой 2-го порядка, и в канонической для неё системе координат её уравнение имеет вид:

y2 2px .

Следствие. (Свойства параболы.)

1)Фокальная ось параболы является её осью симметрии.

2)В канонической для параболы системе координат вершиной параболы является начало координат О(0; 0).

3)В канонической для параболы системе координат, в полуплоскости

x0 нет точек параболы.

4)Длина перпендикуляра, восстановленного в фокусе до пересечения с параболой, равна её фокальному параметру.

Определение. Уравнение y2 2px называется каноническим уравнением параболы.

2

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 27, с.11

Теорема. В канонической для параболы системе координат, фокальный радиус точки М(х, у) параболы равен

r x p2 .

Теорема. В канонической для параболы системе координат уравнение касательной к параболе в точке (x0 , y0 ) имеет вид:

yo y p(x xo ) .

Теорема. (Зеркальное свойство параболы.) Луч света, выпущенный из фокуса параболы после отражения от зеркала параболы проходит параллельно её фокальной оси.

Математическая формулировка зеркального свойства параболы имеет следующий вид.

Теорема. (Зеркальное свойство параболы.) Касательная к параболе образует равные углы с её фокальной осью и фокальным радиусом точки касания.

Определение. В канонической для параболы системе координат кри- 3

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 27, с.11

вые, описываемые уравнениями

y 2px ,

называются ветвями параболы (соответственно, верхней ветвью параболы или нижней).

п.2. Список задач Список №1.

1.Определить, лежит ли данная точка на данной параболе или нет.

2.Зная каноническое уравнение параболы, найти фокальный параметр, координаты вершины и фокуса, уравнение директрисы, и изобразить её на чертеже.

3.Зная каноническое уравнение параболы и координаты какой-нибудь её точки, найти фокальный радиус этой точки.

4.Зная каноническое уравнение параболы и координаты какой-нибудь её точки, найти уравнение её касательной в этой точке.

5.Найти каноническое уравнение параболы, если известен её фокальный параметр или в канонической для параболы системе координат известны координаты одной из её точек.

6. Построить в ПДСК параболы, заданные уравнениями: y2 2px , x2 2py , определить их оси симметрии и направление ветвей.

7. Найти фокальный параметр, координаты вершины и уравнения главных осей параболы, заданной уравнением

Ay2 Bx Cy D 0 или Ax2 Bx Cy D 0 .

Список №2.

1.Найти уравнение касательной к параболе, удовлетворяющей данному условию.

2.Определить взаимное расположение параболы и прямой.

3.Различные задачи, раскрывающие дополнительные свойства параболы, задачи повышенного уровня сложности.

п.3. Примеры Пример 1. Для параболы, заданной каноническим уравнением

y2 4x , найти: фокальный параметр, координаты вершины и фокуса,

уравнение директрисы. Построить чертеж.

Решение. Находим фокальный параметр p 2 , координаты фокуса F(1; 0) и уравнение директрисы x 1. Строим чертеж (смотрите ри- 4

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 27, с.11

сунок 2).

Ответ: p 2, F(1;0), x 1, рисунок 2.

Пример 2. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, расположена симметрично оси абсцисс и проходит через точку А(9; 6).

Решение. Подставляем координаты данной точки в каноническое уравнение параболы y2 2px .

62 2p 9 .

Из полученного уравнения находим фокальный параметр: p 2 .

Ответ: y2 4x .

Пример 3. Убедиться, что точка М(5; 10) лежит на параболе y2 20x ,

и найти её фокальный радиус.

Решение. Подставляем координаты точки М в уравнение параболы:

102 20 5 .

Так как получили верное равенство, то данная точка М лежит на данной параболе. Находим фокальный параметр p 10 . Для вычисления

фокального радиуса точки М используем формулу: r x p2 5 102 10 .

Ответ: 10.

Пример 4. Найти уравнение касательной к параболе y2 20x , прове-

денной в точке М(5; 10).

Решение. Фокальный параметр параболы p 10 . Воспользуемся уравнением касательной, проведенной к параболе в точке (x0 , y0 )

Пример 5. Найти фокальный параметр и определить расположение относительно координатных осей следующих парабол: а) y2 6x ; б)

5

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 27, с.11

x2 4y ; в) y2 4x ; г) x2 2y .

Ответ: а) p 3 , парабола с вершиной в начале координат, расположе-

на симметрично относительно оси абсцисс, ветви параболы направлены вправо;

б) p 2 , парабола с вершиной в начале координат, расположена сим-

метрично относительно оси ординат, ветви параболы направлены вверх;

в) p 2 , парабола с вершиной в начале координат, расположена сим-

метрично относительно оси абсцисс, ветви параболы направлены влево;

г) p 1, парабола с вершиной в начале координат, расположена сим-

метрично относительно оси ординат, ветви параболы направлены вниз.

Пример 6. Составить уравнение параболы, если известны координаты её фокуса F(–6; 0) и уравнение директрисы x 6 0 .

Решение. Так как начало координат находится на фокальной оси параболы посередине между фокусом и директрисой, а направление фокальной оси противоположно направлению оси абсцисс, то уравнение параболы имеет вид:

y2 2px .

где фокальный параметр р равен расстоянию от фокуса до директрисы:

p 12 .

Ответ: y2 24x .

Пример 7. Установите, что уравнение y2 4 6x определяет парабо-

лу, найдите её фокальный параметр, координаты вершины и фокуса, и уравнение директрисы. Определите её ось симметрии и направление ветвей.

Решение. Запишем данное уравнение в виде:

y2 6(x 23) .

Если взять параболу y2 6x и выполнить её параллельный перенос по оси абсцисс вправо на величину, равную 23 , то получаем параболу

6

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 27, с.11

с данным уравнением. Следовательно, данное уравнение является уравнением параболы.

Далее, для параболы y2 6x имеем: фокальный параметр p 3 ,

координаты вершины (0; 0), координаты фокуса ( 32 ;0) , уравнение директрисы x 32 .

После параллельного переноса параболы вдоль оси абсцисс на 23 ,

величина её фокального параметра не изменится, а абсциссы коорди-

нат вершины параболы и её фокуса увеличатся на 23 : A(23 ;0), F( 56 ;0) . Директриса параболы также сдвинется по оси абс-

F( 56 ;0) , уравнение директрисы x 136 , осью симметрии является ось абсцисс, ветви направлены влево.

Пример 8. Установите, что уравнение y 14 x2 x 2 определяет па-

раболу, найдите её фокальный параметр, координаты вершины и фокуса, и уравнение директрисы. Определите её ось симметрии и направление ветвей.

Решение. Данное уравнение можно рассматривать как квадратичную функцию, графиком которой, как известно, является парабола. Так как старший коэффициент положительный, то ветви параболы направлены вверх. Для нахождения координат её вершины можно использовать формулы:

Отсюда следует, что осью симметрии (фокальной осью) является пря- 7

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 27, с.11

мая x 2 , координаты вершины А(–2; 1). Для нахождения фокального параметра выделим в квадратном трехчлене полный квадрат:

y 14 x2 x 2 14 (x 2)2 1 .

Заметим, что из последнего уравнения сразу же следуют координаты вершины параболы А(–2; 1). Перепишем последнее уравнение в следующем виде:

(x 2)2 4(y 1) .

Это уравнение параболы, которое получается из уравнения параболы x2 4y после её параллельного переноса, сначала, вдоль оси абсцисс

влево на 2 единицы, а затем вдоль оси ординат вверх на одну единицу. Так как фокальный параметр параболы при этом не изменится, то

p 2 .

Фокус параболы x2 4y имеет координаты (0; 1), её директриса имеет уравнение y 1. После параллельного переноса, получаем координаты фокуса F(–2; 2), уравнение директрисы y 0 .

Ответ: p 2 , координаты вершины А(–2; 1), координаты фокуса F(–2; 2), уравнение директрисы y 0 , ось симметрии x 2 , ветви направлены вверх.

п.4. Задачи Задачи для аудиторного решения 27

1.Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, если она симметрична относительно оси абсцисс и её ветви направлены вправо, зная, что: а) фокальный параметр p 3 ; б) парабола

проходит через точку с координатами М(1; 2).

2.Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, если она симметрична относительно оси абсцисс и её ветви направлены влево, зная, что: а) фокальный параметр p 0,5 ; б) парабола

проходит через точку с координатами М(–1; 3).

3. Определите, какие линии определяются следующими уравнениями:

а) y 2 x ; б) y 2 x ; в) x 3 y .

4.На параболе y2 16x найдите точки, фокальный радиус которых равен 13.

5.Найдите фокальный параметр параболы, координаты её вершины и

8