МП ПЗ АГ ч.2 (электронный вариант)

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Удмуртский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Пример 6. Вычислить определитель

методом Гаусса,

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.05.2015

Размер:

1.28 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1411 12 13 14 > Следующая >>>

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 30, УдГУ, Ижевск – 2011, с.12

определитель 2 – го порядка.

приводя его к треугольному виду.

Решение. Умножим первую строку на (– 2) и прибавим ко второй строке:

1	0	1	1	0	1
1	0	1	1	0	1
2	3	0	2 1 ( 2)	3 0 ( 2)	0 ( 1)( 2)
3	4	2	3	4	2

Умножим первую строку на 3 и прибавим к третьей:

				1 0 1							1				0				1					1 0 1	.
				1 0 1							1				0				1					1 0 1
			0 3 2								0				3			2						0 3 2
				3 4 2						3 1 3				4 0 3					2 ( 1) 3					0 4 1
Умножим третий столбец на 4 и прибавим ко второму:
	1	0		1		1	4				1	11.
	1	0		1		1	4				1
	0 3 2					0	11 2
	0	4		1		0	0				1
Ответ: – 11.
п.4		Задачи
Задачи для аудиторного решения 30
1. Вычислить определители 2-го порядка:
		а)		1 4		; б)			3		4		; в)		3 6				; г)	3 16			;
		а)		1 4		; б)			3		4		; в)		3 6				; г)	3 16			;
				5	2			1			2				5		10			5	10
		д)		a	1	; е)			1 1				; ё)			a 1			b c			;


				a2	a				x1		x2					a2 a			ab ac

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 30, УдГУ, Ижевск – 2011, с.12

ж)	cos	sin	.
ж)	cos	sin	.
	sin	cos
				2	1	1
				2	1	1
2. Вычислить определитель				1	4	1	по схеме треугольника.
				1	8	3

3. Вычислить миноры и алгебраические дополнения элементов a13 , a22

		2	3	5
		2	3	5
4.	Вычислить определитель	1	4	1	, разложив его по элемен-
		6	2	7
	там 2-й строки и 3-го столбца.
		2	0	2
		2	0	2
5.	Вычислить определитель	2	1	2	двумя различными спосо-
		1	2	1
	бами (по схеме треугольника и разложив его по элементам какой-
	нибудь строки или столбца).

											1	3	1
											1	3	1
6. Вычислить определитель										1		1	3		, приведя его к треугольному
											2	1	3
	виду.
7. Вычислить определители:												5
	1	1	1		1				2				1	2
	1	1	1		1				2				1	2
а)	1	1 1			1		;	б)	3			7 1 4				;
	1	1	1		1				5			9	2	7
	1	1	1		1				4			6	1	2
	3		5	2		4			7		6	3	7
	3		5	2		4			7		6	3	7
в)	3 4			5 3				; г)	3		5 7 2			;
	5		7	7		5			5		4	3	5
	8		8	5		6			5		6	5	4
												8

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 30, УдГУ, Ижевск – 2011, с.12

	7	3	2	6		1	2	3	4		1	1	3	x
	7	3	2	6		1	2	3	4		1	1	3	x
д)	8	9	4	9	; е)	2	1	2	3	; ё)	1	3	1	y	.
	7	2	7	3		3	2	1	2		3	1	1	z
	5	3	3	4		4	3	2	1		1	1	1	t

Задачи повышенного уровня сложности 30
1. При каком значении параметра а число	a	24	является кор-
1. При каком значении параметра а число	a	24	является кор-
	12	36

нем уравнения x2 x 132 0 .

2. Докажите, что для любой ненулевой пары рациональных чисел (a;b) (0; 0) существет хотя бы одна пара рациональных чисел

(x; y) , такая, что	a	b	1.
(x; y) , такая, что	a	b	1.
	x	y

3. Как изменится определитель, если:

а) его первый столбец поставить на последнее место, а остальные столбцы сдвинуть влево, сохраняя их расположение; б) его строки записать в обратном порядке?

4. Вычислить определители:						1 2a
	27	44	40	55			1	a	x
	27	44	40	55			1	a	x
а)	20	64	21 40		; б)	1 2b	2	b x		;
	13	20	13	24		1 2c	3	c	x
	46	45	55	84		1 2d	4	d	x

	3		6	5	6	4			1 x1y1			1 x1y2					1 x1y3
	3		6	5	6	4
	5		9 7 8			6
в)	6 12 13 9					7	; г)		1 x2y1		1 x		2y2				1 x2y3					;
	4		6	6	5	4			1 x	y	1 x			y			1 x			y
	2		5 4 5			3			1 x	y	1 x			y			1 x			y
										3 1			3			2			3		3
		a		b		0	...	0	0			3			9			3	3


		0		a	b		...	0	0			2			2			2
		0		a	b		...	0	0			5			8			2			7
д)		0		0		a	...	0	0	; е)		5			8			2			7	.
д)		.		.		. . .			.	; е)		3			3			3			3	.
		0		0		0	...	a	b			4			5		1				2
		b		0		0	...	0	a			3			3						3
										9		7	8				4		5
												7	8				4		5

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 30, УдГУ, Ижевск – 2011, с.12

Домашнее задание 30
1.	Вычислить определители:
	а)	3	7	; б)	x y		2y			;	в)		x2	xy		y2	.
		3	7		x y		2y						x2	xy		y2
		6 14			x	y	x y							y x		x y
		6 14			x	y	x y							y x		x y
					x	2	2
					x	2	2
2.	Решить уравнение				1	x	1			0 .
					1	1	1
							1		1			1		2
							1		1			1		2
3.	Вычислить определитель						1	3			1			3	.
							1		1			4		3
							3	0			8			13
							1	1			1		, если 3
							1	1			1
4.	Вычислить определитель						2	1								1.
								2			1

п.5 Вопросы и задачи для самоконтроля 30 Обозначения

1.Обозначение определителя матрицы А.

2.Обозначениелинейнойкомбинациистолбцовопределителя.

3.Обозначение минора элемента определителя.

4.Обозначение алгебраического дополнения элемента определителя.

Определения

1.Определение пропорциональных столбцов определителя.

2.Определение линейной комбинации столбцов определителя.

3.Определение минора элемента определителя.

4.Определение алгебраического дополнения элемента определителя.

Теоремы

1.Своства определителя.

2.Теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца.

Самостоятельная работа 30 Вариант 1

1. Определение пропорциональных столбцов определителя.

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 30, УдГУ, Ижевск – 2011, с.12

Вариант 2
1. Определение линейной комбинации столбцов определителя.
	0	0	0	0	1
	0	0	0	0	1
	0	0	0	2	1
2. Вычислить определитель	0	0	3	2	1	.
	0	4	3	2	1
	5	4	3	2	1

Вариант 3
1.	Определение минора элемента определителя.
		1		2	2
2.	Решить уравнение det (A xE) 0 для матрицы		2	1	2
2.	Решить уравнение det (A xE) 0 для матрицы	A	2	1	2	.
			2	2	1
			2	2	1

Вариант 4
1.	Определение алгебраического дополнения элемента определителя.
		2		1	1
2.	Пусть f (x) x 2 2x 1 ,		3	1	2	. Вычислить det f (A) .
		A
			1	1	0

Тест 30

1. Вычислите определитель 41 133 .

2.Решите уравнение 3 x 0 .

		5	4	1
		5	4	1
3.	Найдите минор элемента определителя	1	1	2	, стоящего в третьей строке
		7	6	5
	и первом столбце.					5	4	1


4.	Найдите алгебраическое дополнение	элемента		определителя		1	1	2	,
						7	6	5
	стоящего во второй строке и третьем столбце.
5.	Многочлен от переменной х записан в		виде определителя			3-го	порядка:

4	3	x
4	3	x
x2	x	1	. Не вычисляя сам определитель, найдите свободный член этого
6	5	4

многочлена.

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 30, УдГУ, Ижевск – 2011, с.12

		5	4	1
		5	4	1
6.	Вычислите определитель	x2	x	2	и запишите получившийся многочлен по
		7	6	5
	убуванию степеней переменной х.					4	3	0


7.	Не вычисляя определитель 3-го порядка					x2	x	1	найдите коэффициент при
						6	5	4
	старшей степени переменной х.						4	3	x


8.	Не вычисляя определитель 3-го порядка						x2	x	1	найдите коэффициент
							6	5	4

при старшей степени переменной х.

9. Приведите определитель к треугольному виду и вычислите его: 8 1 2

	4	4	1 .
	4	9	8
10.	Какой элемент определителя				1	2		имеет наибольшее алгебраическое до-
10.	Какой элемент определителя				1	2		имеет наибольшее алгебраическое до-
				3		4
	полнение?				8	1	2
11.	Какой элемент определителя								имеет наименьшее алгебраическое

					4	4		1
					4	9	8
	дополнение?

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 31, УдГУ, Ижевск – 2011, с.10

Практическое занятие 31 Обратная матрица

Теорминимум: обратная матрица, ее единственность, обратимые матрицы, невырожденные матрицы, необходимые и достаточные условия существования обратной матрицы, присоединенная и союзная матрицы, свойство ортогональности определителя, формула обратной матрицы.

п.1 Теория п.1.1 Обратная матрица

Определение. Матрица В называется обратной по отношению к матрице А, если их произведение равно единичной матрице:

AB BA E .

Из определения следует, что если матрица А имеет обратную, то обе они должны быть квадратными матрицами одного порядка. Из определения следует также, что если матрица В является обратной по отношению к матрице А, то и матрица А является обратной по отношению к матрице А.

Определение. Матрица имеющая обратную матрицу называется обратимой.

Теорема. Если квадратная матрица имеет обратную, то она единственная.

Обозначение: если матрица А обратимая, то обратная к ней обозначается через A 1 . Мы можем это сделать в силу ее единственности.

Множество всех обратимых матриц n-го порядка над полем обозначается через

GLn ( ) GLn .

Теорема. (Свойства обратимых матриц.)

1)Произведение обратимых матриц одного и того же порядка является обратимой матрицей:

A,B GLn : AB GLn и (AB) 1 B 1A 1 .

2) Единичная матрица является обратимой, т.е. если Е – единичная матрица n-го порядка, то E 1 E .

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 31, УдГУ, Ижевск – 2011, с.10

3)Если А обратимая, то и A 1 также является обратимой, т.е. если

A GLn , то A 1 GLn и (A 1 ) 1 A .

Следствие. Множество GLn ( ) является некоммутативной группой относительно умножения.

Определение. Квадратную матрицу называют невырожденной (неособой), если ее определитель не равен нулю, в противном случае её называют вырожденной (особой).

Теорема. Для того, чтобы квадратная матрица была обратимой (существовала обратная ей) необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы был отличен от нуля.

п.1.2 Союзная матрица Определение. Матрица

	A	A	...	A
	11	12		1n
	A21	A22	...	A2n
A (Aij )	... ...		...	...	,
		An 2	...
	An1	An 2	...	Ann

где Aij – алгебраическое дополнение элемента aij , называется присоединенной по отношению к матрице А.

Транспонируем присоединенную матрицу:

			A	A	...	A
t		t	A11	A21	...	A n1
t	(Aij )	t	12	22		n 2
(A)	(Aij )		...	...	...	...	.
				A2n	...
			A1n	A2n	...	Ann

Определение. Матрица присоединенная и транспонированная A t называется союзной или взаимной.

Обозначение. Союзную матрицу часто обозначают А*: A* (A)t .

a1j nk ) a2 j

anj

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 31, УдГУ, Ижевск – 2011, с.10

Теорема. Сумма произведений элементов любой строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения соответсвующих элементов другой строки (столбца) определителя равна нулю:

ai1Ak1 ai2 Ak 2 ... ain Akn 0 , i k ; a1jA1k a2 jA2k ... anjAnk 0 , j k ,

где i, j,k 1,...,n .

В матричной форме это свойство определителя можно записать в виде произведения строки на столбец:

Ak1

a1j

, a

,...,a

) Ak 2

0 ;

, A

,...,A

) a2 j

0 ,

Akn

anj

где i, j,k 1,...,n,

i k j.

Эту теорему и теорему о разложении определителя по элементам строки или столбца можно объединить в одну теорему, которая называется свойством ортогональности определителя.

Теорема. (Свойство ортогональности определителя.)

						Ak1

(a		, a		,...,a		) Ak 2
	i1		i2		in

						Akn

(A1k , A2k ,...,A


det A, еслиi k		;
	0, еслиi k	;
	0, еслиi k



det A, если k j
det A, если k j			.
	0, если k j		.

п.1.3 Формула обратной матрицы

Изпоследнейтеоремысразужеследуетматричноеравенство:

A A* A* A (det A) E .

Или в развернутом виде:

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 31, УдГУ, Ижевск – 2011, с.10

a11

a21

...

an1

A11

A12

...

A1n

a		...		a		A
a	12	...	a		1n	A11
	22				2n		12
...		...		...		...
an 2		...
an 2		...	ann			A1n
	A21		...		An1		a11
	A22		...
	A22		...		An 2		a21
	...		... ...				...
	A2n		...
	A2n		...		Ann		an1

A21	...	An1
A22	...
A22	...	An 2
...	...	...
A2n	...
A2n	...	Ann
a12	...	a1n
a22	...	a2n
a22	...	a2n
...	...	...
an 2	...
an 2	...	ann

1		0 ...	0
	0	1 ...	0
(det A)				.
...		... ...	...
	0	0 ...	1

Из последнего матричного равенства сразу же вытекает, что если определитель матрицы не равен нулю, то обратная ей матрица существует и может быть найдена по формуле:

				A	A	21	...	A	n1
				11		21			n1
A 1	1	A*	1	A12	A22		...	An 2		.
A 1	det A	A*		A12			...	...		.
	det A		det A ... ...				...	...
					A2n		...
				A1n	A2n		...	Ann

В частности для матрицы 2-го порядка получаем формулу:

a	b 1	1	d		b
					.
				c
c	d	ad bc			a

п.2 Список задач Список №1

1.Дляданнойквадратнойматрицынайтиеёприсоединенную.

2.Для данной матрицы найти её созную матрицу.

3.Найти матрицу обратную данной.

4.Решить матричное уравнение.

Список №2

1. Задачи на доказательство.

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 31, УдГУ, Ижевск – 2011, с.10

п.3 Примеры
1		2	1
	0	5	7	найти её присоединенную
Пример 1. Для матрицы A
	3	3	0

и союзную.

Решение. Вычисляем миноры и алгебраические дополнения всех элементов данной матрицы:

A			M						5		7	21, A					M								0	7	21,
A			M						5		7	21, A					M								0	7	21,
11				11					3		0					12				12					3	0
									0 5			15 , A													2 1		3 ,
A		M		13					0 5			15 , A				21	M			21					2 1		3 ,
13				13			3			3						21				21				3		0
							3			3														3		0
									1 1																1	2
A22 M22									1 1			3 , A23					M23								1	2			3 ,
							3				0														3	3
A31 M31								2			1	19 , A32					M32								1	1		7 ,
								2			1														1	1
									5 7																0 7
															1				2
									A33 M33						1				2	5 .
																0		5
	21				21				15								21			3		19
			3		3		3							t				21		3			7
Ответ: A			3		3		3				, A* (A)							21		3			7		.
			19			7	5											15			3		5
			19			7	5											15			3		5
												1				2		1
													0	5				7
Пример 2. Если матрица A													0	5				7	обратимая, то найдите об-
													3	3				0
													3	3				0

ратную ей.

Решение. Используя предыдущий пример, вычисляем определитель матрицы А с помощью формулы разложения по элементам 1-го столбца:

det A a11A11 a21A21 a31A31 1 21 0 ( 3) 3 19 36 .

Так как определитель не равен нулю, то матрица А невырожденная, т.е. обратимая. Союзная матрица была вычислена в предыдущем примере. Осталось применить формулу обратной матрицы.

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 31, УдГУ, Ижевск – 2011, с.10

		1		1	21		3	19
Ответ: A	1		A*			21	3	7
									.
		det A		36
						15	3	5

Замечание. Найдя обратную матрицу можно сделать проверку правильности вычислений. Должны выполняться равенства:

A A 1 A 1A E

или

A A* A*A (det A) E .

Чаще всего бывает удобнее проверять последнее равенство, причем на практике достаточно проверить только равенство

A A* (det A) E .

Проверка:
1		2	1 21		3	19	36		0	0
	0	5	7	21	3	7		0	36	0
A A*											.
	3	3	0	15	3	5		0	0	36

Действительно,
21 42 15 36,	( 1)( 3) 2( 3) 3 0,		19 14 5 0 ,
5 21 7 15 0,	( 5) ( 3) 7 3 36,		5 7 7 5 0
3 21 3 21 0,	3 ( 3) 3 ( 3) 0,	3 19 3 7 36 .

Таким образом,

A A* 36 E ,

в чем и требовалось убедиться. Проверка выполнена.

Пример 3. Решить матричные уравнения: а) AX B ;

19		6	,	1		2
б) XA B , где A	3			B	2	4	.
		1

Решение. Вычислим матрицу обратную к матрице А:

	1	6
A 1	3	19	.
	3	19

Теперь можно вычислить решение матричных уравнений:

1		6 1		2	13		26	;
а) X A 1B	3	19	2	4		41	82

					6

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 31, УдГУ, Ижевск – 2011, с.10

1		2 1		6	7		44
б) X BA 1	2	4	3	19		14	84	.

		13		26		7		44
Ответ: а)			41		; б)		84		.
			41	82		14	84
п.4	Задачи
Задачи для аудиторного решения 31
1. Вычислить матрицу, обратную данной:
	2	1		1	2	2		1		3		2	;
а)			; б)			; в)				; г)	5	3	;
	3 4			2	5	5		3			5	3

2		2				2	3				1 2			3	3	4	5
2		2				2	3							2 ; ж)	2		1 ;
д)	1		1	; е)				; ё) 0 1						2 ; ж)	2	3	1 ;
	1		1			1		2								5
											0 0			1	3	5	1
	2		2	3			1 3				5	7		1 1		1 1
	2		2	3
з)	1		1 0			; и)		0 1			2 3			; й) 1 1		1	1 .
								0 0			1 2			1	1	1	1
	1		2	1				0 0			1 2			1	1	1	1
	1		2	1				0 0			0 1				1	1
								0 0			0 1			1	1	1	1
2. Решить матричное уравнение XA B , где
	1			1	;	B	2				1
A		3			;	B		3			.
		3		4				3			4
3. Решить матричное уравнение AX E , где Е – единичная матрица:
		1		3				2			5	7
		1		3					6		3 4
а) A				; б)			A		6		3 4		.
		1		2					5		2	3
									5		2	3
4. Решить матричное уравнение AX B , где
	1		2		3			2
		2
A		2	3 1 ,				B			1 .
		0	2		1					3
		0	2		1					3

Задачи повышенного уровня сложности 31

1.Докажите, что если матрица имеет обратную, то она единственная.

2.Докажите, что множество вещественных квадратных матриц 2-го

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 31, УдГУ, Ижевск – 2011, с.10

порядка вида	a	b	, образует поле, изоморфное полю ком-
порядка вида	b		, образует поле, изоморфное полю ком-
	b	a

плексных чисел.

3.Докажите, что множество обратимых матриц n-го порядка над полем образует группу относительно умножения. Эта группу

обычно обозначают GLn ( ) и называют полной линейной группой над полем . Будет ли эта группа коммутитивной?

4.Выпишите все обратимые матрицы 2-го порядка над полем из двух

элементов: 2 {0;1}, т.е. выпишите все элементы полной линейной группы GL2 ( 2 ) .

5.Составьте таблицу умножения (таблицу Кэли) для полной линейной группы GL2 ( 2 ) .

Домашнее задание 31

1. Вычислить матрицу А 1 , обратную данной матрице А и выполнить

проверку А А 1 А 1 А Е, где Е – единичная матрица соответствующего порядка:

	3		2		1		2	3	5		3	1
а) А	3		2			3	2	4		1 3
а) А		5	4	; б) B		3	2	4	; с) C	1 3		2 .
		5	4			2	1	0		5	2
						2	1	0		5	2	1
2. Решить матричное уравнение АХ = В, где:
1		3		1	1
A		2	; B		.
1		2		1	1

п.5 Вопросы и задачи для самоконтроля 31 Обозначения

1.Обозначение единичной матрицы.

2.Обозначение обратной матрицы.

3.Обозначение присоединенной матрицы.

4.Обозначение союзной матрицы.

5.Обозначение группы обратимых матриц.

Определения

1.Определение обратной матрицы.

2.Определение обратимой матрицы.

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 31, УдГУ, Ижевск – 2011, с.10

3.Определение невырожденной матрицы.

4.Определение присоединенной матрицы.

5.Определение союзной матрицы.

Теоремы

1.Теорема об единственности обратной матрицы.

2.Своства обратимых матриц.

3.Необходимые и достаточные условия существования обратной матрицы.

4.Свойство ортогональности определителя.

5.Формула обратной матрицы.

6.Формула обратной матрицы для квадратной матрицы 2-го порядка.

Самостоятельная работа 31
Вариант 1
1. Определение обратной матрицы.						17				13
2. Вычислите матрицу обратную матрице A						17				13		и выполните проверку.
2. Вычислите матрицу обратную матрице A								30				и выполните проверку.
Вариант 2								30		23
Вариант 2
1.	Определение невырожденной матрицы.
						1				2	2
2.	Вычислите матрицу обратную матрице A							0		1	2
2.	Вычислите матрицу обратную матрице A							0		1	2	и выполните проверку.
								0		0	1
								0		0	1
Вариант 3
1.	Определение союзной матрицы.
						1				2	2
2.	Вычислите матрицу обратную матрице A						2		1		2	и выполните проверку.
2.	Вычислите матрицу обратную матрице A						2		1		2	и выполните проверку.
							2		2		1
Вариант 4							2		2		1
Вариант 4
1.	Определение обратимой матрицы.
		1		2	2					1	1	1
2.			2	1	2					0	1		и выполните проверку.
2.	Решите матричное уравнение X		2	1	2					0	1	1	и выполните проверку.
			2	2 1
			2	2 1						0 0 1
Тест 31									1	3
1.	Вычислите матрицу обратную матрице A								1	3
1.	Вычислите матрицу обратную матрице A							1			.
								1		2
2.		1		3		1				1
2.	Решите матричное уравнение	1		X				1		.
		1		2				1		1
				9

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 31, УдГУ, Ижевск – 2011, с.10

3.					1	3		1	1
3.	Решите матричное уравнение X								.
				1			2	1	1
4.	Решите матричное уравнение			1	3			2
4.	Решите матричное уравнение			1		2	X		.
				1		2		3
		1		0	1
5.	Найдите для матрицы		0	1	0		присоединенную.
5.	Найдите для матрицы	A	0	1	0		присоединенную.
			0	0	1
			0	0	1
		1		0	1
6.	Найдите для матрицы		0	1	0		союзную.
6.	Найдите для матрицы	A	0	1	0		союзную.
			0	0	1
			0	0	1

	1		0	1
7. Вычислите матрицу обратную матрице		0	1	0
7. Вычислите матрицу обратную матрице	A	0	1	0	.
		0	0	1
		0	0	1
8. При каком значении переменной х для матрицы A					x		x 1	верно равенство
8. При каком значении переменной х для матрицы A						1		верно равенство
						1	1

AA 1 ?

9.Решите матричное уравнение AXA 1 E , где А – произвольная обратимая квадратная матрица.

10. Для матрицы		1	3	найдите (A At ) 1 .
	A	1	2

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 32, УдГУ, Ижевск – 2011, с.15

Практическое занятие 32 Определенные системы линейных уравнений

Теорминимум: основные определения, матричная и векторная формы записи, классификация систем по виду и по множеству решений, методы решений определенных систем (с помощью обратной матрицы и по формулам Крамера), геометрический смысл систем линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными.

п.1 Теория п.1.1 Основные определения

Определение. Уравнение вида

a1x1 a2 x2 ... an xn b1 ,

где a1 , a2 ,...,an , b1 – действительные числа, x1 , x2 ,..., xn – переменные

(неизвестные), называется линейным уравнением с n неизвестными. Числа a1 , a2 ,...,an называются коэффициентами этого линейного

уравнения, число b1 называется свободным членом.

Определение. Уравнение вида

a1x1 a2 x2 ... an xn 0

называется однородным линейным уравнением с n неизвестными.

Пусть дана система из m линейных уравнений с n неизвестными:

...

a21x1 a22 x2 ...

a2n xn b2

.............................................. .

am2 x2

amn xn bm

am1x1

Здесь, по вполне понятным причинам, коэффициенты линейных уравненийснабженынижнимидвойнымииндексами. Ониобразуютматрицу

a11	a12	...	a1n
	a22	...	a2n
A a21	a22	...	a2n	.
...	...	...	...
	am2	...
am1	am2	...	amn

Определение. Матрица, элементами которой являются коэффициенты при неизвестных в системе линейных уравнений называется матрицей этой системы.

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 32, УдГУ, Ижевск – 2011, с.15

Определение. Столбец, элементами которого являются свободные члены системы линеных уравнений, называется столбцом свободных членов, и обозначается

b
	1
B b2		.

Определение. Матрица системы линейных уравнений, к которой последним столбцом приписан столбец свободных членов, называется расширенной матрицей системы, и обозначается

a		a		...	a		b

	11		12			1n	1
(A \| B) a21		a22		...	a2n		b2	.
...		...		... ...			...

am1		am2		...	amn		bm

Определение. Столбец, элементами которого являются неизвестные системы линейных уравнений называется столбцом неизвестных системы, и обозначается

x1

X x2	.


xn

Определение. Система линейных уравнений называется однородной, если каждое уравнение системы является однородным, т.е. если столбец её свободных членов является нулевым.

Замечание. Одно линейное уравнение с n неизвестными можно рассматривать как частный случай системы линейных уравнений, и его тоже можно называть системой линейных уравнений, состоящей из одного уравнения и n неизвестных.

Определение. Решением системы линейных уравнений с n неизвест-

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 32, УдГУ, Ижевск – 2011, с.15

ными называется упорядоченный набор из n чисел, которые будучи подставлены в систему, обращают каждое уравнение системы в верное числовое равенство.

		c
		1
Обозначение: X (c , c	,...,c ) или X c2		.
1 2	n
1 2	n

		cn

В первом случае говорят о строке решений, во втором – о столбце решений.

Про систему линейных уравнений, каждое уравнение которой выписано, говорят, что она записана в развернутом виде, или, что система записана в скалярной форме.

Если воспользоваться правилом умножения матриц и определением равенства матриц, то систему линейных уравнений можно записать в матричной форме:

a11	a12
	a22
a21	a22
...	...
	am2
am1	am2

или

Обозначим

...	a		x		b
...		1n		1		1
...	a2n		x2		b2
...	...
...
...	amn xn				bm

AX B .

		a1k

A		a2k
	k

		amk

– k-й столбец матрицы А. Тогда систему линейных уравнений можно записать в виде:

A1x1 A2 x2 ... An xn B .

Такая форма записи системы линейных уравнений называется векторной. Здесь используется правило умножения скаляра на столбец и сложение столбцов, астолбецрассматриваетсякакматрицаразмера m 1.

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 32, УдГУ, Ижевск – 2011, с.15

п.1.2 Классификация систем линейных уравнений

Системы линейных уравнений различаются по внешнему виду и в этом случае они называются так же, какова их матрица коэффициентов: квадратная, треугольная, диагональная, ступенчатая и т.п. Системы линеных уравнений классифицируют и по множеству их решений.

Определение. Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение и несовместной в противном случае.

Определение. Совместная система линейных уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Замечание. Легко видеть, что однородная система линейных уравнений AX 0 являетсясовместной, т.к. она всегдаимеетнулевоерешение.

п.1.3 Методы решений определенных квадратных систем линейных уравнений

Метод Гаусса.

Этот метод будет разобран на следующем практическом занятии.

Матричный метод.

Этот метод применим только к квадратным системам линейных уравнений, то есть к таким, чья матрица коэффициентов является квадратной. В дальнейшешем будет доказано, что если определитель матрицы такой системы не равен нулю, то есть матрица системы является невырожденной, то система является определенной. Невырожденная матрица является обратимой и на этом основан метод решения.

Система решается как матричное уравнение с использованием обратной матрицы:

AX B A 1 (AX) A 1B (A 1A)X A 1B

EX A 1B X A 1B .

Формулы Крамера.

Приведенные ниже формулы позволяют найти единственное решение квадратной системы линейных уравнений с невырожденной матрицей коэффициентов (т.е. определитель матрицы не равен нулю).

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1411 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке МП ПЗ АГ (электронный вариант)

#
13.05.20151.27 Mб98МП ПЗ АГ ч.1 (электронный вариант).pdf
#
13.05.20151.28 Mб76МП ПЗ АГ ч.2 (электронный вариант).pdf