все для алгема / Методические пособия по АГ / МП ПЗ АГ (электронный вариант) / МП ПЗ АГ ч.2 (электронный вариант)

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 18, с.22

ку с заданным нормальным вектором.

11.Определение неполного уравнения прямой на плоскости.

12.Определение уравнения прямой в отрезках.

13.Определение уравнения прямой с угловым коэффициентом.

14.Определение уравнения прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом.

Теоремы

1.Геометрический смысл алгебраического уравнения 1-й степени с двумя неизвестными.

2.Виды неполных уравнений прямой на плоскости.

3.Геометрический смысл коэффициентов в уравнении прямой в отрезках.

4.Геометрический смысл коэффициентов в уравнении прямой с угловым коэффициентом.

5.Теорема о параметрическом уравнении прямой и её следствие о каноническом уравнении прямой.

6.Теорема о взаимном расположении двух прямых на плоскости, заданных общими (каноническими или параметрическими) уравнениями.

7.Формулы угла между двумя прямыми на плоскости.

8.Условие перпендикулярности двух прямых на плоскости.

9.Связь нормального вектора прямой на плоскости с её направляющим вектором и угловым коэффициентом.

Тест 18

x 2t 1

1. Какие из следующих точек принадлежат прямой : А(–1;

y 3t 2

2), В(–3; –1), С(–1; 5)?

2. Построить на координатной плоскости Оху прямую, заданную общим уравнением 2x y 4 0 и записать уравнение этой прямой

вотрезках.

3.Найти общее уравнение прямой, проходящей через точку А(4; 3) и

перпендикулярной вектору n (1; 2) .

4.Найти уравнение прямой с угловым коэффициентом, если её угло-

вой коэффициент k 23 и известно, что прямая проходит через

21

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 18, с.22

точку С(0; –1).

5.Найти каноническое и параметрическое уравнения прямой, проходящей через точку А(–1; 2), и параллельной вектору s (3; 4) .

6.Найти каноническое уравнение прямой, проходящей через точки А(–3; 4) и В(1; –2).

резках, с угловым коэффициентом, каноническое, параметрическое).

9.Найдите нормальный вектор прямой x3 4y 1.

10.Найдите направляющий вектор прямой y 2x 1.

22

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 19, с.14

Практическое занятие 19 Нормированное уравнение прямой

Краткое содержание: нормированное (нормальное) уравнение прямой на координатной плоскости, нормирующий множитель, расстояние от начала координат до прямой, расстояние от точки до прямой, расстояние между параллельными прямыми, невязка и отклонение, взаимное расположение двух точек и прямой на плоскости, уравнения биссектрис угла, образованного пересечением двух данных прямых, условия пребывания данной точки внутри острого (тупого) угла, образованного пересечением двух данных прямых.

п.1. Теория п.1.1. Нормированное уравнение прямой

Определение. Общее уравнение прямой

Ax By C 0

называется нормированным или нормальным уравнением прямой, если

A2 B2 1 и C 0 .

Теорема. (Геометрический смысл коэффициентов нормированного уравнения прямой). Нормированное уравнение прямой может быть записано в виде

x cos ycos p 0 ,

где p 0 – расстояние от начала координат до данной прямой, cos , cos – направляющие косинусы её нормального вектора

n (cos , cos ) .

у

L

O

х

n

Рис.1.

1

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 19, с.14

Замечание. Если в нормированном уравнении прямой вместо направ-

ляющих углов и нормального вектора n взять его полярный угол, то нормированное уравнение прямой можно записать в виде:

x cos ysin p 0 ,

которое чаще всего и называется нормальным уравнением прямой. (Смотрите рисунок 1.) Из определения направляющего угла следует, что он совпадает с полярным углом в первой и второй четвертях

системы координат.

Определение. Нормирующим множителем общего уравнения прямой

Ax By C 0

называется число

где знак выбирается противоположным знаку свободного члена С уравнения прямой.

Теорема. (Приведение общего уравнения прямой к нормальному виду.) Пусть – нормирующий множитель прямой Ax By C 0 . То-

гда уравнение

Ax By C 0

является нормированным уравнением данной прямой.

п.1.2. Невязка и отклонение Определение. Пусть на координатной плоскости Оху дано произ-

вольное общее уравнение прямой L : Ax By C 0 и произвольная точка M1 (x1 , y1 ) . Число

(M1 ; L) Ax1 By1 C

называется невязкой точки M1 относительно прямой L.

Определение. Пусть на координатной плоскости Оху дано произвольное общее уравнение прямой L : Ax By C 0 с нормальным

вектором n (A, B) и произвольная точка M1 (x1 , y1 ) . Число

2

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 19, с.14

называется отклонением точки M1 от прямой L.

п.1.3. Расстояние от точки до прямой и между параллельными прямыми

Теорема. Расстояние d от точки M1 (x1 , y1 ) до прямой

L : Ax By C 0 равно

d d (M1 ; L) | (M1 ; L) |

или

d | x1 cos y1 cos

где x cos ycos p 0 – нормированное уравнение данной прямой.

Теорема. Пусть

L1 : x cos 1 y cos 1 p1 0, L2 : x cos 2 y cos 2 p2 0 ,

– нормированные уравнения двух параллельных прямых, где

О

Рис.2.

3

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 19, с.14

Рис.3.

Следствие. Пусть даны общие уравнения двух параллельных прямых с одинаковыми коэффициентами при переменных:

L1 : Ax By C1 0, L2 : Ax By C2 0 .

Тогда:

1) если C1C2 0 , то начало координат лежит не между прямыми и

п.1.4. Взаимное расположение прямой и двух точек Теорема. Пусть на координатной плоскости Оху даны две точки и прямая:

M1 (x1 ; y1 ), M2 (x2 ; y2 ), L : Ax By C 0 .

Пусть

1 Ax1 By1 C, 2 Ax2 By2 C

– невязки данных точек относительно данной прямой. Тогда:

1) если 1 2 0 , то обе точки лежат в одной полуплоскости относи-

тельно данной прямой (по одну сторону от прямой); 2) если 1 2 0 , то обе точки лежат в разных полуплоскостях отно-

сительно данной прямой (по разные стороны от прямой).

п.1.5. Уравнения биссектрис угла между двумя пересекающимися прямыми Теорема. Пусть на координатной плоскости Оху даны общие уравне-

4

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 19, с.14

причем A1A2 B1B2 0 . Тогда следующее уравнение является уравнением биссектрисы острого угла, образованного этими прямыми:

является уравнением биссектрисы тупого угла.

п.1.6. Необходимые и достаточные условия пребывания данной точки внутри острого (тупого) угла, образованного двумя данными пересекающимися прямыми Теорема. Пусть даны общие уравнения двух пересекающихся прямых

L1 : A1x B1y C1 0 и L2 : A2 x B2 y C2 0 ,

причем направления их нормальных векторов n1 (A1 ,B1 ) и n2 (A2 , B2 ) выбраны так, что угол между ними является острым, т.е.

n1 n2 A1A2 B1B2 0 .

Тогда:

1) точка Mo (xo , yo ) находится внутри острого угла тогда и только тогда, когда невязки точки Mo относительно данных прямых имеют

противоположные знаки

(Mo ,L1 ) (Mo ,L2 ) 0 ;

2) точка Mo (xo , yo ) находится внутри тупого угла тогда и только тогда, когда невязки точки Mo относительно данных прямых имеют

одинаковые знаки

(Mo ,L1 ) (Mo ,L2 ) 0 .

п.2. Список задач Список №1

1.Определить, является ли данное уравнение нормированным уравнением прямой.

5

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 19, с.14

2.Найти нормирующий множитель для данного общего уравнения прямой.

3.Найти нормированное уравнение данной прямой и расстояние до нее от начала координат.

4.Найти расстояние между двумя параллельными прямыми.

5.Найти невязку и отклонение точки от прямой.

6.Найти расстояние от точки до прямой.

Список №2

1.Определить взаимное расположение двух точек и прямой.

2.Определить, находится данная точка внутри данного треугольника или вне его.

3.Найти уравнение биссектрисы острого (тупого) угла между двумя пересекающимися прямыми.

4.Определить, находится данная точка внутри острого или тупого угла, образованного пересечением двух данных прямых.

5.Найти координаты точки пересечения биссектрис данного треугольника.

п.3. Примеры Пример 1. Определить, какие из следующих уравнений прямых яв-

ляются нормированными:

Решение. Пользуемся определением нормированного уравнения прямой.

а) A 1, B 2, A2 B2 1, уравнение не нормированное; б) свободный член C 0 , уравнение не нормированное;

в) коэффициент A 43 1, уравнение не нормированное;

г) свободный член C 6 0 , уравнение не нормированное;

уравнение нормированное;

6

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 19, с.14

Пример 2. Найти нормированное уравнение прямой x 2y 3 0 и

Знак нормирующего множителя выбрали противоположным знаку свободного члена общего уравнения: C 3 0 .

Умножаем данное уравнение прямой на нормирующий множитель и получаем нормированное уравнение прямой:

– расстояние от начала координат до данной прямой.

Пример 3. Найти нормированные уравнения данных параллельных прямых и расстояние между ними:

а) 5x 12y 3 0,10x 24y 13 0 ; б) 2x 2y 5 0, x y 0,5 0 .

Выписываем нормированные уравнения прямых:

135 x 1213 y 133 0, 135 x 1213 y 12 0 .

Так как нормальные векторы получившихся нормированных уравнений противоположны, то начало координат находится между данными параллельными прямыми и расстояние между ними равно

7

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 19, с.14

d p1 p2 133 12 267 .

б) Приводим данные уравнения прямых к нормированному виду:

Нормальные векторы получившихся нормированных уравнений равны, следовательно, начало координат находится не между данными параллельными прямыми, и расстояние между ними равно

б) 2x 2y 5 0, x y 0,5 0 .

Решение. а) Соответствующие коэффициенты при переменных х и у в обоих уравнениях совпадают, и свободные члены имеют одинаковый знак. Следовательно, начало координат находится не между данными параллельными прямыми и расстояние между ними равно

б) Разделим первое уравнение на 2, чтобы соответствующие коэффициенты при переменных х и у в обоих уравнениях были равны:

x y 2,5 0, x y 0,5 0 .

Свободные члены уравнений имеют противоположные знаки, следовательно, начало координат находится между данными параллельными прямыми, и расстояние между ними равно

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 19, с.14

Ответ: а) 135 ; б) 32 2 .

Пример 5. Найти расстояние от точки М(–7; –2) до прямой

L :5x 3y 23 0 .

Решение. Воспользуемся формулой расстояния от точки до прямой:

M2 (8; 3) , M3 (2; 13) и прямой 6x y 13 0 .

Решение. Находим невязки точек относительно данной прямой:

1 6( 5) 11 13 28 , 2 6 8 3 13 58 ,3 6 2 13 13 38 .

Так как невязки второй и третьей точек имеют одинаковые знаки, то они находятся в одной полуплоскости. Невязка первой точки имеет противоположный знак, поэтому она находится в другой полуплоскости.

Ответ: точки M2 и M3 находятся в одной полуплоскости, M1 – в другой.

Пример 7. Найти уравнение биссектрис острого и тупого углов между прямыми y x и y 3x .

Решение. Запишем общее уравнение каждой прямой:

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 19, с.14

– уравнение биссектрисы тупого угла.

Ответ: y 3 5 x – уравнение биссектрисы острого угла, 5 1

y 3 5 x – уравнение биссектрисы тупого угла. 5 1

Пример 8. Определить, какой из углов, острый или тупой, образованных двумя прямыми 3x 5y 4 0 и x 2y 3 0 , содержит точку

М(2; –5).

Решение. Умножим первое уравнение на (–1):

3x 5y 4 0 .

Теперь выполняется условие теоремы п.6:

n1 n2 A1A2 B1B2 3 10 7 0 .

Находим невязки точки М относительно плоскостей

3x 5y 4 0 и x 2y 3 0 :

1 3 2 5 ( 5) 4 27, 2 2 2 ( 5) 3 5 .

Так как знаки невязок одинаковы, то точка М лежит в тупом угле. Ответ: тупой угол.

п.4. Задачи Задачи для аудиторного решения 19

1. Определить, какие из следующих уравнений прямых являются нор-

ё) y 2 0 ; ж) y 2 0 .

10

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 19, с.14

2.Привести общее уравнение прямой к нормированному виду и найти расстояние от начала координат до этой прямой: а) 4x 3y 10 0 ;

С(–2; 3), 3x 4y 2 0 ;

5.Точка А(2; –5) является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой x 2y 7 0 . Найти площадь этого квадрата.

6.Установить, лежит ли точка М(1; –3) и начало координат в одной

или в разных полуплоскостях относительно прямой: а)

2x y 5 0 ; б) x 3y 5 0 ; в) 3x 2y 1 0 ; г) x 3y 2 0 .

7.Доказать, что прямая 2x y 3 0 пересекает отрезок, ограниченный точками А(–5; 1) и В(3; 7).

Задачи повышенного уровня сложности 19

8.Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(1; 5) на расстоянии пять единиц от начала координат.

9.Составить уравнение прямой, симметричной прямой x 2y 6 0 относительно точки А(4; 2).

10.Определить, лежит ли точка М(–3; 2) внутри или вне треугольни-

2x 3y 9 0 . Установить, что первая из них лежит между двумя

другими, и вычислить отношение, в котором она делит расстояние между ними.

12. Определить, лежат ли точки А(2; 3) и В(5; –1) в одном, в смежных или вертикальных углах, образованных прямыми x 3y 5 0 ,

2x 9y 2 0 .

13. Определить, какой из углов, острый или тупой, образованных двумя прямыми 3x 2y 5 0 и 2x y 3 0 , содержит начало

11

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 19, с.14

Домашнее задание 19. Нормированное уравнение прямой

1.Определить высоту ВД в треугольнике А(4; –3), В(–2; 6), С(5; 4), вычислив расстояние от точки В до прямой АС.

2. Даны уравнения оснований трапеции: 3x 4y 15 0 , 3x 4y 35 0 . Найти высоту трапеции.

3.Составить уравнение биссектрисы тупого угла, образованного пря-

мыми x 3y 5 0 и 3x y 15 0 .

4*. Определить, лежит ли начало координат внутри или вне треугольника, стороны которого даны уравнениями 7x 5y 11 0 ,

8x 3y 31 0 , x 8y 19 0 .

5*. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(2; 5) на расстоянии 2 от точки В(0; –1).

Самостоятельная работа 19

Вариант 1.

1.Определение нормирующего множителя.

2.Найдите нормированное уравнение прямой x 2y 15 0 и найди-

те расстояние до нее от начала координат.

3.Докажите, что данные прямые параллельные и найдите расстояние между ними: 3x 6y 7 0, 3 y 7 0 .

Вариант 2.

1.Определение нормированного уравнения прямой.

2.Найдите нормированное уравнение прямой 2x y 5 0 и найдите

расстояние до нее от начала координат.

3.Докажите, что данные прямые параллельные и найдите расстояние между ними: 4x 2y 1 0, 4x y 9 0 .

Вариант 3.

1. Определение невязки точки относительно прямой.

2. Докажите, что прямые 3x 6y 7 0 и 3x 2y 7 0 параллельные

инайдите расстояние между ними.

3.Определить высоту ВD в треугольнике А(4; –3),

В(–2; 6), С(5; 4), вычислив расстояние от точки В до прямой АС.

Вариант 4.

12

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 19, с.14

1. Определение отклонения точки от прямой.

2. Докажите, что прямые 4x 2y 1 0 и 2x y 9 0 параллельные

и найдите расстояние между ними.

3.Определить высоту СD в треугольнике А(4; –3), В(–2; 6), С(5; 4), вычислив расстояние от точки С до прямой АВ.

п.5. Вопросы и задачи для самоконтроля 19 Обозначения

1.Обозначение расстояния от начала координат до прямой на плоскости.

2.Обозначение нормирующего множителя общего уравнения прямой на плоскости.

3.Обозначение невязки точки относительно прямой на плоскости.

4.Обозначение отклонения точки от прямой на плоскости.

5.Обозначение расстояния от точки до прямой.

6.Обозначение расстояния между двумя параллельными прямыми.

Определения

1.Определение нормированного (нормального) уравнения прямой на плоскости.

2.Определение полярного угла вектора.

3.Определение нормирующего множителя общего уравнения прямой на плоскости.

4.Определение невязки точки относительно прямой на плоскости.

5.Определение отклонения точки прямой на плоскости.

Теоремы

1.Геометрический смысл коэффициентов нормированного уравнения прямой.

2.Приведение общего уравнения прямой на плоскости к нормальному виду.

3.Формула расстояния от точки до прямой на плоскости.

4.Формулы расстояния между двумя параллельными прямыми на плоскости, заданными нормальными уравнениями.

5.Формула расстояния между двумя параллельными прямыми на плоскости, заданными общими уравнениями.

6.Теорема о взаимном расположение двух точек относительно прямой на плоскости.

13

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 19, с.14

7.Уравнения биссектрис двух пересекающихся прямых на плоскости.

8.Теорема о взаимном расположении точки и двух пересекающихся прямых на плоскости.

Тест 19

1. Определить, какие из следующих уравнений прямых являются нор-

г) y 2 0 .

2.Найдите нормирующий множитель для уравнения y 2x 1 0 .

3.Найти нормированное уравнение прямой, и расстояние до неё от

4. Найдите расстояние от начала координат до прямой x 2y 5 0 .

7.Найдите расстояние от точки М(–6; 4) до прямой y 2x 1.

8.Найдите расстояние между параллельными прямыми 2x 2y 3 0

иx y 3 0 .

9.Установить, лежит ли точка М(1; –3) и начало координат в одной

14

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 20, с.10

Практическое занятие 20 Пучок прямых на плоскости

Краткое содержание: пучок прямых на координатной плоскости и его уравнение, центр пучка, уравнение пучка с заданным центром.

п.1. Теория п.1.1. Уравнение пучка прямых

Определение. Пучком прямых, лежащих на одной плоскости, называется множество всех прямых этой плоскости, пересекающихся в одной точке, которая называется центром пучка.

Теорема. (Об уравнении пучка прямых.) Пусть

L1 : A1x B1y C1 0 и L2 : A2 x B2 y C2 0

– две прямые в координатной плоскости Оху, пересекающиеся в точке Mo . Тогда уравнение

(A1x B1y C1 ) (A2 x B2 y C2 ) 0 , (1)

где , R – произвольные действительные параметры, одновременно не равные нулю, есть уравнение пучка прямых с центром пучка в точке Mo .

Замечание. Если в уравнении (1) 0, 0 , то уравнение (1) есть уравнение прямой L2 . Если 0, 0 , то уравнение (1) есть уравнение прямой L1 . Поэтому, если уравнение (1) разделить на 0 , то получим уравнение любой прямой из данного пучка, кроме прямой

где R – произвольное действительное число (параметр).

Определение. Уравнение (1) называется уравнением пучка прямых. Уравнение (2) называется уравнением пучка прямых с одним параметром.

Теорема. (Об уравнении пучка прямых с данным центром пучка.) У- равнение

A(x xo ) B(y yo ) 0 ,

где А и В произвольные действительные параметры, является уравне- 1

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 20, с.10

нием пучка прямых с центром пучка в точке Mo (xo , yo ) .

Следствие. (Об уравнении пучка прямых с одним параметром и данным центром пучка.) Уравнение

y yo k(x xo ) ,

где k произвольный действительный параметр, является уравнением пучка прямых с одним параметром и с центром пучка в точке Mo (xo , yo ) кроме прямой x xo .

п.2. Список задач Список № 1

1.Написать уравнение пучка прямых, если известны уравнения двух прямых из этого пучка.

2.Найти центр пучка прямых, если известно уравнение этого пучка.

3.Написать уравнение пучка прямых, если известны координаты его центра.

4.Найти уравнение прямой, принадлежащей данному пучку прямых и проходящей через данную точку.

5.Найти уравнение прямой, принадлежащей данному пучку прямых и проходящей параллельно (перпендикулярно) данной прямой.

Список № 2

1.Найти уравнение прямой, принадлежащей двум данным пучкам, не находя при этом центры пучков.

2.Найти уравнение прямой, принадлежащей данному пучку прямых и отсекающий от координатного угла треугольник заданной площади.

п.3. Примеры Пример 1. Найти уравнение пучка прямых с центром пучка в точке

пересечения прямых 2x y 3 0, x y 2 0 .

Ответ: (2x y 3) (x y 2) 0 .

Пример 2. Найти центр пучка прямых

(2x y 3) (x y) 0 .

Решение. Решаем систему уравнений

2

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 20, с.10

2x y 3 . x y 0

Ответ: ( 1;1) .

Пример 3. Найти уравнение пучка прямых с центром пучка в точке А(--1; 3).

Решение. Прямые x 1 и y 3 пересекаются в точке А. Следова-

тельно, эти две прямые принадлежат пучку прямых с центром пучка в точке А. Зная уравнения двух прямых из этого пучка, мы можем написать его уравнение:

(x 1) (y 3) 0 .

Можно заменить греческие буквы на латинские.

Ответ: A(x 1) B(y 3) 0 .

Пример 4. Найти уравнение прямой, принадлежащей пучку прямых(2x 3y 1) (x 4y 6) 0 и проходящей через точку А(–2; 5).

Решение. Подставляя вместо параметров и конкретные значения,

мы получаем уравнение прямой, принадлежащей данному пучку. Значения параметров мы найдем, зная, что искомая прямая проходит че-

рез точку А. Подставим координаты точки А в уравнение пучка:

(2( 2) 3 5 1) (( 2) 4 5 6) 0

или 10 16 0 , или 5 8 0 . Положим 8, 5 . Подставим

найденные значения параметров в уравнение пучка:

8(2x 3y 1) 5(x 4y 6) 0 или 21x 4y 22 0 . Ответ: 21x 4y 22 0 .

Пример 5. Найти уравнение прямой, принадлежащей пучку прямых(2x 3y 1) (x 4y 6) 0 и проходящей параллельно прямой

3x 7y 8 0 .

Решение. Искомая прямая имеет вид

(2x 3y 1) (x 4y 6) 0

или

(2 )x (3 4 )y 6 0 ,

где значения параметров и нам предстоит найти. Эта прямая параллельна прямой 3x 7y 8 0 . Следовательно, их нормальные векторы должны быть коллинеарные:

3

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», УдГУ, Ижевск – 2010, ПЗ 20, с.10

n1 (2 ; 3 4 ) || n2 (3; 7) .

Из условия коллинеарности векторов следует, что

2 3 4 . 3 7

Отсюда находим:

14 7 9 12 или 23 5 0 .

Полагаем, 5, 23. Подставляя в уравнение искомой прямой (в

уравнение пучка), получаем:

(2 5 23)x (3 5 4 23)y 5 6 23 0 , 33x 77y 133 0 . Ответ: 33x 77y 133 0 .

Пример 6. Найти уравнение прямой, принадлежащей пучку(x 3y 1) (2x y 2) 0 и проходящей перпендикулярно прямой

x 7y 2 0 .

Решение. Запишем уравнение искомой прямой в виде: ( 2 )x ( 3 )y 2 0 .

Эта прямая перпендикулярна прямой x 7y 2 0 . Следовательно, их нормальные векторы должны быть ортогональны:

n1 ( 2 ; 3 ) n2 (1; 7) .

Условием ортогональности векторов является равенство нулю их скалярного произведения:

n1 n2 ( 2 ) 7( 3 ) 0

или 20 5 0 или 4 . Подставляя в искомое уравнение пря-

мой, получаем:

( 8 )x ( 3 4 )y 8 0 .

Так как параметры и одновременно не могут быть равными нулю и 4 , то 0 . Сокращая последнее уравнение на , получаем:

9x 7y 7 0 .

Ответ: 9x 7y 7 0 .

Пример 7. Найти прямую, принадлежащую двум пучкам:

(x y 1) (x 1) 0, (2x 3y) (y 1) 0 .

Решение. 1-й способ. Находим центры обоих пучков:

4