все для алгема / Методические пособия по АГ / МП ПЗ АГ (электронный вариант) / МП ПЗ АГ ч.2 (электронный вариант)

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 29, УдГУ, Ижевск – 2011, с.13

Практическое занятие 29 Определители

Теорминимум: перестановки конечного множества, их количество, инверсии, четность перестановки, транспозиция и ее свойства, определитель, член определителя и его знак. Правило знаков.

п.1 Теория п.1.1 Перестановки

Определение. Перестановкой множества из n элементов называется любой упорядоченный набор из всех элементов этого множества, среди которых нет одинаковых.

Под множеством из n элементов мы будем понимать множество

M {1, 2, ..., n}.

Пример. Упорядоченные наборы:

(1, 2, 3, 4, 5), (5, 2, 1, 4, 3), (2, 5, 4, 1, 3)

являются перестановками множества M, а наборы

(3, 2, 1, 5), (3, 2, 1, 4, 3), (3, 2, 6, 4, 5)

не являются перестановками множества М.

Определение. Перестановка (1, 2, ..., n) называется первоначальной перестановкой множества из n элементов.

Теорема. (О количестве перестановок.) Существует ровно n! перестановок множества из n элементов.

Определение. Говорят, что пара чисел (i, j) образуют в перестановке инверсию, если i j , но число i находится в перестановке левее числа j.

Пример. В перестановке (2, 5, 4, 1, 3) инверсию образуют пары чисел

(2, 1), (5, 4), (5, 1), (5, 3), (4, 1) и (4, 3).

Произвольную перестановку из n элементов обозначают: ( i1 , i2 , ..., in ) .

Здесь каждое число перестановки обозначают буквой с нижним индексом. Индекс показывает, в каком месте перестановки стоит данное число. Например, число i3 стоит в перестановке третьим по счету.

1

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 29, УдГУ, Ижевск – 2011, с.13

Число (количество) всех инверсий в перестановке ( i1 , i2 , ..., in ) мы бу-

дем обозначать

( i1 , i2 , ... , in ) . Так, например, (2, 5, 4,1, 3) 6 .

Определение. Перестановка называется четной, если число ее инверсий четно, и нечетной в противном случае.

Пример. Так как (2, 5, 4,1, 3) 6 , а (2, 5, 4, 3,1) 7 , то перестановка (2, 5, 4, 1, 3) четная, а (2, 5, 4, 3, 1) – нечетная.

Определение. Транспозицией называется действие, заключающееся в том, что в перестановке два каких-либо числа меняют местами друг с другом.

(i j)

Обозначение: (... i ... j...) (... j ... i ...)

(15)

Пример. (1, 2, 3, 4, 5) (5, 2, 3, 4, 1) .

Теорема. (О транспозиции соседних элементов перестановки.) Любая транспозиция соседних элементов перестановки меняет четность перестановки на противоположную.

Теорема. (О транспозиции произвольных элементов перестановки.) Любая транспозиция любых двух элементов перестановки меняет четность перестановки на противоположную.

Теорема. (О первоначальной перестановке.) Любую перестановку можно получить из начальной перестановки последовательным выполнением конечного числа транспозиций, причем это количество транспозиций есть число четное, если данная перестановка четна, и нечетное в противном случае.

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 29, УдГУ, Ижевск – 2011, с.13

Здесь, перестановка (2, 5, 4, 1, 3) приведена к начальной за 4 транспозиции и она четная, так как (2, 5, 4,1, 3) 6 .

Замечание. Понятно, что любую перестановку можно привести к начальной и обратно с помощью тех же самых транспозиций, выполненных в обратном порядке.

Теорема. (О количестве четных и нечетных перестановок.) Количество четных перестановок множества из n элементов равно количеству

нечетных и равно n!2 .

п.1.2 Определитель n-го порядка

Пусть дана квадратная матрица n-го порядка над полем :

Определение. Произведение n элементов матрицы А, взятых в точности по одному из каждой строки и каждого столбца называется членом определителя матрицы А.

Обозначение: a1i1 a2i2 ... an in .

Здесь первый индекс обозначает номер строки, из которой взят элемент, второй индекс ik , который в свою очередь имеет нижний ин-

декс k 1, 2, ..., n , обозначает номер столбца, из которой взят элемент, и набор вторых индексов образует перестановку { i1 , i2 , ... , in } множества из n элементов: M {1, 2, ..., n}.

Так как число всех перестановок множества M {1, 2, ..., n} равно

n!, то существует ровно n! членов определителя. Каждый член определителя снабдим знаком плюс или минус, в зависимости от четности или нечетности перестановки вторых индексов. Это можно сделать с

помощью множителя ( 1) (i1 , i2 ,...,in ) , который равен 1, если перестановка

3

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 29, УдГУ, Ижевск – 2011, с.13

( i1 , i2 , ... , in ) четная и тогда число инверсий (i1 , i2 , ... , in ) есть четное число и равен –1, если перестановка ( i1 , i2 , ... , in ) нечетная и тогда число инверсий (i1 , i2 , ... , in ) есть нечетное число.

Определение. Определителем (детерминантом) n-го порядка или определителем (детерминантом) квадратной матрицы n-го порядка называют алгебраическую сумму всех членов определителя данной матрицы, взятых со своими знаками.

Обозначение:

где суммирование ведется по всем перестановкам столбцов.

Пример. Вычислим определитель 3 – го порядка:

a11 a12 a13

a21 a22 a23 . a31 a32 a33

Выпишем все члены определителя, их ровно 6 штук. Для этого, выпишем сначала все перестановки множества из 3 элементов:

(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1)

и определим их четность:

Теперь выписываем члены определителя, причем первые индексы (номера строк) образуют начальную перестановку, а вторые индексы (номера столбцов) образуют перестановку, одну из 6 приведенных выше.

4

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 29, УдГУ, Ижевск – 2011, с.13

Теперь мы можем записать определитель, как алгебраическую сумму всех членов определителей, взятых со знаком плюс, если вторые индексы сомножителей, входящих в член определителя, образуют четную перестановку, и со знаком минус в противном случае:

a13 a22 a31 a11 a23 a32 a12 a21 a33 .

Замечание. Формула (1) определяет отображение из множества всех квадратных матриц n-го порядка над полем в поле . Это отображение называется определителем или детерминантом и обозначается det : Mn ( ) .

Теорема. (Правило знаков.)

det A ( 1)m ai1 j1 ai2 j2 ... ain jn ,

n!

где m ( i1 , i2 , ... , in ) (j1 , j2 , ..., jn ) и суммирование происходит по всем членам определителя.

п.2 Список задач Список №1

1.Выяснить, образует ли перестановку данный упорядоченный набор чисел.

2.Найти все перестановки множества из двух, трех и четырех элементов.

3.Выписать все пары чисел, образующих инверсию в данной перестановке.

4.Вычислить количество инверсий в перестановке и определить её четность.

5.Выполнить заданную транспозицию в перестановке.

6.С помощью транспозиций привести данную перестановку к начальной перестановке и определить её четность.

7.Выяснить, является ли данное произведение членом определителя.

8.Определить знак данного члена определителя.

9.Вычислить определитель пользуясь его определением.

5

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 29, УдГУ, Ижевск – 2011, с.13

Список №2

Задачи списка №1, содержащие произвольное количество чисел и задачи на доказательство.

п.3 Примеры Пример 1. Какие из следующих упорядоченных наборов чисел обра-

зуют перестановку множества {1,2,3,4,5,6}:

а) (2, 1, 3, 5, 4, 1, 6); б) (2, 3, 5, 4, 6); в) (2, 3, 5, 4, 1, 6)?

Решение. В наборе а) число 1 встречается два раза, а в наборе б) число 1 отсутствует, поэтому эти наборы чисел не являются перестановками множества {1,2,3,4,5,6}. В наборе в) все числа данного множества встречаются в точности по одному разу без повторений и пропусков, и поэтому этот набор чисел является перестановкой данного множества. Ответ: в)

Пример 2. Выписать все пары чисел, образующих инверсию в пере-

становке (1, 3, 2, 5, 4, 6). Ответ: (3, 2), (5, 4).

Пример 3. Определить четность перестановки

(1, 3, 2, 5, 4, 6).

Решение. Число пар, образующих инверсию в данной перестановке равно двум (смотрите предыдущий пример):

(1,3,2,5,4,6) 2 .

Ответ: четная.

Пример 4. Выполнить транспозицию (15) в перестановке (1, 3, 2, 5, 4, 6).

(15)

Решение. (1,3,2,5,4,6) (5,3,2,1,4,6) . Ответ: (5, 3, 2, 1, 4, 6).

Пример 5. Привести перестановку (2, 4, 6, 1, 3, 5) к первоначальному виду с помощью транспозиций и определить её четность.

воначальному виду нам понадобилось 4 транспозиции. Следователь-

6

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 29, УдГУ, Ижевск – 2011, с.13

но, перестановка (2, 4, 6, 1, 3, 5) является четной. Ответ: четная.

Пример 6. Найти знак члена определителя 5-го порядка:

а) a12a24a33a41a53 ; б) a12a24a31a43a55 ; в) a31a24a53a15a42 .

Решение. а) Первые индексы расположены по возрастанию, выписываем последовательность вторых индексов:

(2, 4, 3, 1, 3).

Эта последовательность не образует перестановку множества {1, 2, 3, 4, 5}, так как число 3 встречается в ней два раза.

б) Так как первые индексы образуют первоначальную перестановку, то выписываем последовательность вторых индексов:

(2, 4, 1, 3, 5).

Эта последовательность чисел образует перестановку множества {1, 2, 3, 4, 5}. Найдем её четность. Выпишем все пары чисел, которые образуют в этой перестановке инверсию:

(2, 1), (4, 1), (4, 3).

Количество пар образующих инверсию нечетное число, следовательно, перестановка вторых индексов является нечетной, а сам член определителя имеет знак «минус».

в) Выписываем последовательности первых и вторых индексов: (3, 2, 5, 1, 4), (1, 4, 3, 5, 2).

Обе последовательности образуют перестановку множества {1, 2, 3, 4, 5}, поэтому данное произведение является членом определителя 5-го порядка. Вычислить знак этого члена можно двумя способами.

1-й способ. Находим четность каждой перестановки. Приведем каждую перестановку к первоначальному виду с помощью транспозиций:

Перестановка первых индексов нечетная, вторых индексов – четная, т.е. (3,2,5,1,4) – нечетное число, а (1,4,3,5,2) – четное, и знак чле-

на определителя a31a24a53a15a42 равен:

( 1) (3,2,5,1,4) (1,4,3,5,2) 1.

2-й способ. Переставим сомножители в данном члене определителя таким образом, чтобы первые индексы образовали первоначальную перестановку:

7

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 29, УдГУ, Ижевск – 2011, с.13

a15a24a31a42a53 .

Выписываем получившуюся перестановку вторых индексов: (5, 4, 1, 2, 3),

и определяем её четность:

Перестановка нечетная и знак члена определителя равен

( 1) (5,4,1,2,3) 1.

Ответ: а) произведение не является членом определителя; б) знак минус; в) знак минус.

Решение. Выпишем все ненулевые члены определителя. Если в член определителя сомножителем входит нулевой элемент определителя, то такой член определителя равен нулю. Поэтому из каждой строки мы можем выбрать лишь два элемента определителя. Из первой строки выбираем элемент a11 . Тогда из второй строки мы без вариантов

должны выбрать элемент a22 , который стоит во втором столбце, так как элемент a21 стоит в первом столбце, из которого элемент уже выбран. Далее, из третьей строки мы можем выбрать либо элемент a33 , либо a34 . Если мы выбираем элемент a33 , то из 4-й строки мы должны без вариантов выбрать элемент a44 . Если же в третьей строке мы выбираем элемент a34 , то из 4-й строки мы должны без вариантов выбрать элемент a43 . Таким образом, мы получаем всего 4 члена опре-

делителя:

a11a22a33a44 , a11a22a34a43 , a12a21a33a44 , a12a21a34a43 .

Легко находим, что первый и четвертый члены имеют знак плюс, а второй и третий – знак минус. Получаем:

8

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 29, УдГУ, Ижевск – 2011, с.13

a12a21a33a44 a12a21a34a43

a11a22 (a33a44 a34a43 ) a12a21 (a33a44 a34a43 )

п.4 Задачи Задачи для аудиторного решения 29

1. Определить число инверсий в перестановках:

а) (2, 3, 5, 4, 1); б) (1, 9, 6, 3, 2, 5, 4, 7, 8); в) (6, 3, 1, 2, 5, 4); г) (7, 5, 6, 4, 1, 3, 2);

д) (1, 3, 5, …, 2n 1, 2, 4, 6, 8, …, 2n); е) (n, n 1, n 2, ..., 3, 2,1) .

2.Сколько инверсий образует число 1, стоящее на k -м месте перестановки?

3.Сколько инверсий образует наибольшее число перестановки, стоящее на k -м месте?

4.Перейти от перестановки 7, 5, 3, 9, 1, 6, 2, 8, 4 к начальной перестановке 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 за наименьшее число транспозиций.

5.Выяснить, какие из следующих произведений входят в определители соответствующих порядков и с какими знаками:

в) a27a36a51a74a25a43a62 ; г) a33a16a72a27a55a61a44 ; д) a12a23a34 ... an 1,n an,1 .

6.Выбрать числа m и k так, чтобы произведение a62am5a33ak 4a46a21 входило в определитель 6-го порядка со знаком минус.

9

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 29, УдГУ, Ижевск – 2011, с.13

7.Пользуясь только определением определителя выпишите все члены определителя 2-го и 3-го порядков.

8.Пользуясь определением вычислить определитель

9.С каким знаком входит в определитель произведение элементов: а) главной диагонали; б) побочной диагонали?

10.Пользуясь только определением определителя вычислите определитель:

а) диагональной матрицы; б) треугольной матрицы; в) матрицы, у которой все элементы выше побочной диагонали равны нулю.

11.Пользуясь только определением определителя выпишите все члены определителя 4-го порядка, которые входят в определитель со знаком плюс.

12.Найти члены определителя 4-го порядка, содержащие элемент a32

ивходящие в определитель со знаком плюс.

Задачи повышенного уровня сложности 29

1.Докажите, что при транспозиции соседних элементов перестановки число инверсий изменяется на 1.

2.Докажите, что при транспозиции любых элементов перестановки число инверсий изменяется на нечетное число.

3.В какой перестановке множества чисел {1, 2, …, n} число инверсий наибольшее и чему оно равно?

4.Докажите, что любую транспозицию можно выполнить с помощью смежных транспозиций.

5.Найти сумму инверсий во всех перестановках множества из четырех элементов.

6.Докажите, что от любой перестановки, содержащей k инверсий можно перейти к начальной перестановке с помощью k смежных транспозиций.

7.Известно, что число инверсий в перестановке (a1 , a2 ,..., an ) равно k.

Сколько инверсий в перестановке (an , an 1 ,..., a1 ) ?

10

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 29, УдГУ, Ижевск – 2011, с.13

8. Вычислите определитель, пользуясь его определением:

Домашнее задание 29.

1. Выбрать числа m и k так, чтобы произведение a47 a63a1m a55a7k a24a31 входило в определитель 7-го порядка со знаком плюс.

п.5 Вопросы и задачи для самоконтроля 28 Обозначения

1.Обозначение перестановки множества из n элементов.

2.Обозначение первоначальной перестановки из n элементов.

3.Обозначение числа инверсий в перестановке из n элементов.

4.Обозначение транспозиции в перестановке.

5.Обозначение определителя.

6.Обозначение произвольного члена определителя n-го порядка.

7.Обозначение знака произвольного члена определителя n-го порядка.

Определения

1.Определение перестановки элементов конечного множества.

2.Определение первоначальной перестановки из n элементов.

3.Определение инверсии в перестановке.

11

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 29, УдГУ, Ижевск – 2011, с.13

4.Определение четной (нечетной) перестановки.

5.Определение транспозиции в перестановке.

6.Определение члена определителя.

7.Определение определителя n-го порядка.

Теоремы

1.Теорема о количестве перестановок элементов конечного множества.

2.Теорема о транспозиции соседних элементов перестановки.

3.Теорема о транспозиции произвольных элементов перестановки.

4.Теорема о первоначальной перестановке.

5.Теорема о количестве четных и нечетных перестановок.

6.Правило знаков для членов определителей.

Самостоятельная работа 28 Вариант 1

1.Определение перестановки элементов конечного множества.

2.Какие следующие последовательности чисел являются перестановками множест-

ва {1,2,3,4}: а) (1,2,3,2,4); б) (4, 3, 1, 2); в) (3, 2, 4)?

3.Выпишите все пары чисел, которые образуют инверсию в перестановке (4,1,3,2) и определите её четность.

Вариант 2

1.Определение четной (нечетной) перестановки.

2.Выпишите все пары чисел, которые образуют инверсию в перестановке (4,1,3,5,2) и определите её четность.

3.Выполните в перестановке (4,1,3,5,2) транспозицию (14) и определите четность получившейся перестановки.

Вариант 3

1.Определение инверсии в перестановке.

2.Определите четность перестановки (4,1,3,6,5,2).

3.Определите знак члена определителя a14a22a33a41 .

Вариант 4

1.Определение члена определителя.

2.Приведите перестановку (4,1,3,6,5,2) к первоначальному виду с помощью транс-

позиций и вычислите ( 1) (4,1,3,6,5,2) . 0 0 4

3. Вычислите определитель 0 3 9 .

1 2 1

12

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 30, УдГУ, Ижевск – 2011, с.12

Практическое занятие 30 Свойства определителей

Теорминимум: свойства определителя, вычисление определителей с использованием его свойств, метод Гаусса приведения определителя к треугольному виду.

п.1 Теория п.1.1 Свойства определителей

Пусть А – квадратная матрица n-го порядка над полем скаляров . Обозначим через Ak – k-й столбец матрицы А и определитель матри-

цы А будем обозначать так:

det A det (A1 , A2 , ... , An ) .

Определение. Говорят, что столбец Ai определителя пропорционален столбцу A j , есливерноматричноеравенство Ai A j , где – скаляр.

Определение. Пусть A1 , A2 , ... , An – столбцыопределителя. Выражение

1A1 2 A2 ... n An ,

где 1 , 2 ,..., n – скаляры, называется линейной комбинацией столбцов определителя.

Теорема. (Свойства определителей.)

1) Определитель не изменяется при транспонировании: det A det At .

2)При перестановке двух столбцов (строк) определитель меняет знак на противоположный:

det (A1 , ...,Ap , ... , Aq , ..., An ) det (A1 ,...,Aq ,...,Ap ,...,An ) .

3)Общий множитель всех элементов столбца (строки) можно выносить за знак определителя:

det A (A1 ,..., Ak , ... , An ) det (A1 ,...,Ak ,...,An ) .

4) Определитель содержащий нулевой столбец (строку) равен нулю: det A (A1 ,..., 0, ... , An ) .

5)Определитель имеющий два равных столбца (строки) равен нулю.

6)Определитель содержащий два пропорциональных столбца (строки) равен нулю.

7)Пусть две квадратные матрицы А и В одного порядка отличаются друг от друга только каким-то k-м столбцом:

1

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 30, УдГУ, Ижевск – 2011, с.12

Ak Bk , i k Ai Bi ,

Тогда

det (A1 ,...,Ak 1 ,Ak ,Ak 1 ,...,An ) det (A1 ,...,Ak 1 ,Bk ,...,An )

det (A1 ,...,Ak 1 ,Ak Bk ,Ak 1 ,...,An ) .

8)Определитель не изменится, если к какому-либо столбцу определителя прибавить линейную комбинацию других столбцов этого же определителя.

9)Определитель треугольной матрицы равен произведению всех элементов главной диагонали.

Замечание. Свойство 7) чаще применяется в обратном порядке, т.е. какой-то столбец расписывается в виде суммы двух столбцов и тогда определитель можно записать в виде суммы двух определителей. Свойства 7) и 8) справедливы и для строк определителя. На практике чаще всего к одному столбцу (или строке) прибавляют другой столбец (строку), умноженный на какой-либо скаляр.

п.1.2 Миноры и алгебраические дополнения

Определение. Минором элемента aij определителя n-го порядка называют определитель (n 1) -го порядка, который получается из данного определителя вычеркиванием i- й строки и j-го столбца, на пересечении которых стоит элемент aij , и обозначается Mij .

Определение. Алгебраическим дополнением элемента aij определи-

теля n-го порядка называют его минор, взятый со знаком плюс, если i j – четное число и со знаком минус в противном случае:

Aij ( 1)i j Mij .

Теорема. (О разложении определителя по элементам строки или столбца.) Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (или любого столбца) определителя на их алгебраические дополнения:

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 30, УдГУ, Ижевск – 2011, с.12

Замечание. Первое равенство в теореме называется разложением определителя по элементам i-й строки, второе – разложением определителя по элементам j-го столбца.

п.2 Список задач Список №1

1.Вычисление определителей 2-го порядка.

2.Вычисление определителей 3-го порядка с использованием схемы треугольника.

3.Вычисление минора элемента определителя.

4.Вычисление алгебраического дополнения элемента определителя.

5.Вычисление определителей 3-го порядка с помощью формулы разложения определителя по элементам строки или столбца.

5.Вычисление определителей 3-го и более высокого порядка с использованием его свойств.

6.Вычисление определителей методом Гаусса (приведением к треугольному виду).

Список №2

1. Вычисление определителей n-го порядка с использованием его свойств.

Решение. Из определения определителя следует формула вычисления определителя 2-го порядка:

Ответ: –1.

3

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 30, УдГУ, Ижевск – 2011, с.12

3 1 2

Пример 2. Вычислить определитель 1 2 4 с использованием

3 7 0

схемы треугольников.

Решение. Из определения определителя следует формула вычисления определителя 3-го порядка:

a11 a12 a13

a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33

a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33 .

Следующая схема вычисления определителя называется схемой треугольника. Изобразим элементы определителя точками и соединим отрезками прямых те точки, которые соответствуют члену определителя. Получим два отрезка прямых и 4 треугольника. Элементы члена определителя a12a23a31 находятся в вершинах треугольника, сторона

a12a23 которого параллельна главной диагонали:

Член определителя a13a21a32 также образует треугольник с основанием, параллельным главной диагонали:

a32

Эти два члена определителя вместе с членом определителя, который равен произведению элементов главной диагонали имеют знак плюс:

a33

Оставшиеся 3 члена определителя имеют знак минус – это произведение элементов побочной диагонали

4

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 30, УдГУ, Ижевск – 2011, с.12

и два треугольника a11a23a32 и a12a21a33 со сторонами, параллельными побочной диагонали:

Используя эту схему вычисления, получаем: 3 1 2

1 2 4 3 2 0 ( 1) 4 ( 3) ( 2) 1 7

3 7 0( 2) 2 ( 3) 3 4 7 ( 1) 1 0 12 14 12 84 98.

Ответ: – 98.

Пример 3. Вычислить миноры и алгебраические дополнения элементов a12 , a21 и a33 определителя

Решение. По определению минора и алгебраического дополнениния имеем:

5

Головизин В.В. ПЗ по курсу «Алгебра и геометрия», ПЗ 30, УдГУ, Ижевск – 2011, с.12

ложения определителя по элементам строки или столбца. Решение. Разложим определитель по элементам 3-й строки:

0 4 1 2

используя его разложение по элементам строк или столбцов. Решение. Понятно, что при разложении определителя по элементам строки или столбца нужно выбирать строку или с столбец с наибольшим количеством нулей.

Комментарии к решению. Сначала мы разложили определитель по элементам первого столбца, затем получившийся определитель 3 – го порядка разложили по элементам 1 – й строки и в конце вычислили

6