golovizin_lekcii_po_lineynoy_algebre_2_semestr / Лекция 27. Теорема о ранге матрицы

Приведенные преобразования не изменяют величину определителя, построенного на первых трех столбцах матрицы А, поэтому он отличен от нуля и, следовательно, его столбцы линейно независимые и образуют максимальную линейно независимую подсистему системы столбцов матрицы А. Отсюда можно сделать вывод, что первые три столбца матрицы А образуют базис линейной оболочки натянутой на столбцы матрицы А, т.е. и .

Ответ: , – базис линейной оболочки , .

Определение. Любой ненулевой минор матрицы А максимального порядка называют базисным минором матрицы А.

Из этого определения следует, что порядок базисного минора матрицы А равен рангу матрицы А.

Замечание. Максимальную линейно независимую подсистему системы строк матрицы, которая образует базис линейной оболочки системы строк матрицы, мы будем, для краткости, называть базисными строками матрицы. И то же самое для столбцов.

Из приведенного примера можно сделать вывод, что если, вычисляя ранг матрицы, мы не переставляем строки и столбцы матрицы, то найдя базисный минор матрицы и определив номера строк и столбцов на которых он построен, мы, тем самым, находим номера базисных строк и столбцов исходной матрицы.

Так в примере, базисный минор матрицы А построен на первых трех строках и первых трех столбцах, следовательно именно они и образуют базисы системы строк и столбцов матрицы А.

п.5. Доказательство теоремы о ранге матрицы.

Итак, в обозначениях, принятых в п.3, нам нужно доказать, что , где r – ранг матрицы А, s – ранг системы строк матрицы А, t – ранг системы столбцов матрицы А.

1) Сначала мы докажем, что и .

Так как , то существует ненулевой минор r-го порядка матрицы А. Обозначим его через . Пусть, для удобства записи, он расположен в верхнем левом углу матрицы А:

, .

Обозначим через – столбцы минора . Так как , то по лемме 1 система – линейно независимая. Отсюда сразу же следует, что система первых r столбцов матрицы А: тоже линейно независимая. Действительно, если она представляет нулевой вектор нетривиально:

, где и набор коэффициентов , то это же равенство верно и для укороченных столбцов:

, где , т.е. система представляет нулевой вектор нетривиально, что противоречит ее линейной независимости.

Из линейной независимости системы следует, что ранг системы столбцов матрицы А, , ч.т.д.

Аналогично доказывается неравенство .

2) Теперь докажем обратные неравенства: и , откуда и будет следовать теорема. Докажем неравенство . Заметим, что если , то по доказанному в первой части, , но из определения ранга системы векторов следует, что и неравенство доказано.

Пусть и пусть для удобства записи – максимальная линейно независимая подсистема строк матрицы А. Обозначим

и – столбцы матрицы В.

Дальнейшее доказательство разбивается на 2 шага.

а) Обозначим через L линейную оболочку натянутую на столбцы матрицы В: и докажем, что

.

Действительно, т.к. – столбцы высоты t, то .

Допустим теперь, что . По лемме 2 существует ненулевая линейная форма , такая, что , т.е. , . Значит, , . Пусть – матрица линейной формы , то , , откуда . Отсюда получаем, что .

С другой стороны,

и мы получили линейную комбинацию строк матрицы В равную нулю: .

По условию, система – линейно независимая и, следовательно, может представлять нулевой вектор только тривиально, т.е. и матрица – нулевая. А это означает, что – нулевая форма. Получили противоречие. Следовательно, , ч.т.д.

б) Из доказанного следует, что

и существует t линейно независимых столбцов матрицы В. Пусть для определенности, система – линейно независимая. Тогда минор t-го порядка

,

откуда следует, что , ч.т.д. Рассматривая матрицу , аналогично доказываем неравенство .

Теорема доказана.