5. Математическая модель задачи

Шаг 1

За ведущий выберем столбец 2 , так как -22 наименьший элемент в W строке. Элемент W строки, принадлежащий столбцу свободных членов не рассматриваем.

За ведущую выберем строку 1, так как отношение свободного члена к соответствующему элементу выбранного столбца для 1 строки является наименьшим. Отношение вычисляется только для положительных элементов столбца 2.

Таблица 5.1

	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	r1	r2	r3	r4	СЧ	О
r1	2	12	10	1	2	- 1	0	0	0	1	0	0	0	36	3
r2	12	0	0	4	3	0	- 1	0	0	0	1	0	0	4 6	-
r3	1	8	3	0	4	0	0	- 1	0	0	0	1	0	26	13 4
r4	2	2	4	6	2	0	0	0	- 1	0	0	0	1	56	28
G	12	36	32	18	10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	-
W	- 17	- 22	- 17	- 11	- 11	1	1	1	1	0	0	0	0	- 164	-

Необходимо разделить элементы строки 1 на 12.

Таблица 5.2

	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	r1	r2	r3	r4	СЧ	О
r1	1 6	1	5 6	1 12	1 6	- 1 12	0	0	0	1 12	0	0	0	3	3
r2	12	0	0	4	3	0	- 1	0	0	0	1	0	0	46	-
r3	1	8	3	0	4	0	0	- 1	0	0	0	1	0	26	13 4
r4	2	2	4	6	2	0	0	0	- 1	0	0	0	1	56	28
G	12	36	32	18	10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	-
W	- 17	- 22	- 17	- 11	- 11	1	1	1	1	0	0	0	0	- 164	-

От элементов строки 3 отнимает соответствующие элементы строки 1, умноженные на 8.

От элементов строки 4 отнимает соответствующие элементы строки 1, умноженные на 2.

От элементов строки G отнимает соответствующие элементы строки 1, умноженные на 36.

От элементов строки W отнимает соответствующие элементы строки 1, умноженные на -22.

Элементы столбца r1 можно не пересчитывать, так как переменная r1 больше не является базисной.

Таблица 5.3

	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	r2	r3	r4	СЧ
x2	1 6	1	5 6	1 12	1 6	- 1 12	0	0	0	0	0	0	3
r2	12	0	0	4	3	0	- 1	0	0	1	0	0	46
r3	- 1 3	0	- 11 3	- 2 3	8 3	2 3	0	- 1	0	0	1	0	2
r4	5 3	0	7 3	35 6	5 3	1 6	0	0	- 1	0	0	1	50
G	6	0	2	15	4	3	0	0	0	0	0	0	- 108
W	- 40 3	0	4 3	- 55 6	- 22 3	- 5 6	1	1	1	0	0	0	- 98

X ₁ = (0 , 3 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 46 , 2 , 50)

W = -98 + 40/3 x₁ -4/3 x₃ + 55/6 x₄ + 22/3 x₅ + 5/6 x₆ - x₇ - x₈ - x₉

Значение функции W для данного решения: W (X ₁) = -98

­­­­­­­­­­­­Шаг 2

За ведущий выберем столбец 1 , так как -40/3 наименьший элемент в W строке. Элемент W строки, принадлежащий столбцу свободных членов не рассматриваем.

За ведущую выберем строку 2, так как отношение свободного члена к соответствующему элементу выбранного столбца для 2 строки является наименьшим. Отношение вычисляется только для положительных элементов столбца 1.

Таблица 5.4

	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	r2	r3	r4	СЧ	О
x2	1 6	1	5 6	1 12	1 6	- 1 12	0	0	0	0	0	0	3	18
r2	12	0	0	4	3	0	- 1	0	0	1	0	0	46	23 6
r3	- 1 3	0	- 11 3	- 2 3	8 3	2 3	0	- 1	0	0	1	0	2	-
r4	5 3	0	7 3	35 6	5 3	1 6	0	0	- 1	0	0	1	50	30
G	6	0	2	15	4	3	0	0	0	0	0	0	- 108	-
W	- 40 3	0	4 3	- 55 6	- 22 3	- 5 6	1	1	1	0	0	0	-98	-

Необходимо разделить элементы строки 2 на 12.

Таблица 5.5

	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	r2	r3	r4	СЧ	О
x2	1 6	1	5 6	1 12	1 6	- 1 12	0	0	0	0	0	0	3	18
r2	1	0	0	1 3	1 4	0	- 1 12	0	0	1 12	0	0	23 6	23 6
r3	- 1 3	0	- 11 3	- 2 3	8 3	2 3	0	- 1	0	0	1	0	2	-
r4	5 3	0	7 3	35 6	5 3	1 6	0	0	- 1	0	0	1	50	30
G	6	0	2	15	4	3	0	0	0	0	0	0	- 108	-
W	- 40 3	0	4 3	- 55 6	- 22 3	- 5 6	1	1	1	0	0	0	-98	-

От элементов строки 1 отнимает соответствующие элементы строки 2 .

От элементов строки 3 отнимает соответствующие элементы строки 2, умноженные на -1/3.

От элементов строки 4 отнимает соответствующие элементы строки 2, умноженные на 5/3.

От элементов строки G отнимает соответствующие элементы строки 2, умноженные на 6.

От элементов строки W отнимает соответствующие элементы строки 2, умноженные на -40/3.

Элементы столбца r₂ можно не пересчитывать, так как переменная r₂ больше не является базисной.

Таблица 5.6

	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	r3	r4	СЧ
x2	0	1	5 6	1 36	1 8	- 1 12	1 72	0	0	0	0	85 36
x1	1	0	0	1 3	1 4	0	- 1 12	0	0	0	0	23 6
r3	0	0	- 11 3	- 5 9	11 4	2 3	- 1 36	- 1	0	1	0	59 18
r4	0	0	7 3	95 18	5 4	1 6	5 36	0	- 1	0	1	785 18
G	0	0	2	13	5 2	3	1 2	0	0	0	0	-131
W	0	0	4 3	- 85 18	- 4	- 5 6	- 1 9	1	1	0	0	- 422 9

X ₂ = (23/6 , 85/36 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 59/18 , 785/18)

W = -422/9 -4/3 x₃ + 85/18 x₄ + 4 x₅ + 5/6 x₆ + 1/9 x₇ - x₈ - x₉

Значение функции W для данного решения: W (X ₂) = -422/9

Шаг 3

За ведущий выберем столбец 4 , так как -85/18 наименьший элемент в W строке. Элемент W строки, принадлежащий столбцу свободных членов не рассматриваем.

За ведущую выберем строку 4, так как отношение свободного члена к соответствующему элементу выбранного столбца для 4 строки является наименьшим. Отношение вычисляется только для положительных элементов столбца 4.

Таблица 5.7

	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	r3	r4	СЧ	О
x2	0	1	5 6	1 36	1 8	- 1 12	1 72	0	0	0	0	85 36	85
x1	1	0	0	1 3	1 4	0	- 1 12	0	0	0	0	23 6	23 2
r3	0	0	- 11 3	- 5 9	11 4	2 3	- 1 36	- 1	0	1	0	59 18	-
r4	0	0	7 3	95 18	5 4	1 6	5 36	0	- 1	0	1	785 18	157 19
G	0	0	2	13	5 2	3	1 2	0	0	0	0	-131	-
W	0	0	4 3	- 85 18	- 4	- 5 6	- 1 9	1	1	0	0	- 422 9	-

Необходимо разделить элементы строки 4 на 95/18.

Таблица 5.8

	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	r3	r4	СЧ	O
x2	0	1	5 6	1 36	1 8	- 1 12	1 72	0	0	0	0	85 36	85
x1	1	0	0	1 3	1 4	0	- 1 12	0	0	0	0	23 6	23 2
r3	0	0	- 11 3	- 5 9	11 4	2 3	- 1 36	- 1	0	1	0	59 18	-
r4	0	0	42 95	1	9 38	3 95	1 38	0	- 18 95	0	18 95	157 19	157 19
G	0	0	2	13	5 2	3	1 2	0	0	0	0	-131	-
W	0	0	4 3	- 85 18	- 4	- 5 6	- 1 9	1	1	0	0	- 422 9	-

От элементов строки 1 отнимает соответствующие элементы строки 4 .

От элементов строки 2 отнимает соответствующие элементы строки 4 .

От элементов строки 3 отнимает соответствующие элементы строки 4, умноженные на -5/9.

От элементов строки G отнимает соответствующие элементы строки 4, умноженные на 13.

От элементов строки W отнимает соответствующие элементы строки 4, умноженные на -85/18.

Элементы столбца r₄ можно не пересчитывать, так как переменная r₄ больше не является базисной.

Таблица 5.9

	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	r3	СЧ
x2	0	1	78 95	0	9 76	- 8 95	1 76	0	1 190	0	81 38
x1	1	0	- 14 95	0	13 76	- 1 95	- 7 76	0	6 95	0	41 38
r3	0	0	- 65 19	0	219 76	13 19	- 1 76	- 1	- 2 19	1	299 38
x4	0	0	42 95	1	9 38	3 95	1 38	0	- 18 95	0	157 19
G	0	0	- 356 95	0	- 11 19	246 95	3 19	0	234 95	0	- 4530 19
W	0	0	65 19	0	- 219 76	- 13 19	1 76	1	2 19	0	- 299 38

X ₃ = (41/38 , 81/38 , 0 , 157/19 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 299/38)

W = -299/38 -65/19 x₃ + 219/76 x₅ + 13/19 x₆ -1/76 x₇ - x₈ -2/19 x₉

Значение функции W для данного решения: W(X₃) = -299/38

Шаг 4

За ведущий выберем столбец 5 , так как -219/76 наименьший элемент в W строке. Элемент W строки, принадлежащий столбцу свободных членов не рассматриваем.

За ведущую выберем строку 3, так как свободное отношение для третьего 3 строки является наименьшим. Отношение вычисляется только для положительных элементов столбца 5.

Таблица 5.10

	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	r3	СЧ	О
x2	0	1	78 95	0	9 76	- 8 95	1 76	0	1 190	0	81 38	18
x1	1	0	- 14 95	0	13 76	- 1 95	- 7 76	0	6 95	0	41 38	82 13
r3	0	0	- 65 19	0	219 76	13 19	- 1 76	- 1	- 2 19	1	299 38	598 219
x4	0	0	42 95	1	9 38	3 95	1 38	0	- 18 95	0	157 19	314 9
G	0	0	- 356 95	0	- 11 19	246 95	3 19	0	234 95	0	- 4530 19	-
W	0	0	65 19	0	- 219 76	- 13 19	1 76	1	2 19	0	- 299 38	-

Необходимо разделить элементы строки 3 на 219/76.

Таблица 5.11

	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	r3	СЧ	О
x2	0	1	78 95	0	9 76	- 8 95	1 76	0	1 190	0	81 38	18
x1	1	0	- 14 95	0	13 76	- 1 95	- 7 76	0	6 95	0	41 38	82 13
r3	0	0	- 265 219	0	1	52 219	- 1 219	- 76 219	- 8 219	76 219	598 219	598 219
x4	0	0	42 95	1	9 38	3 95	1 38	0	- 18 95	0	157 19	314 9
G	0	0	- 356 95	0	- 11 19	246 95	3 19	0	234 95	0	- 4530 19	-
W	0	0	65 19	0	- 219 76	- 13 19	1 76	1	2 19	0	- 299 38	-

От элементов строки 1 отнимает соответствующие элементы строки 3, умноженные на 9/76.

От элементов строки 2 отнимает соответствующие элементы строки 3, умноженные на 13/76.

От элементов строки 4 отнимает соответствующие элементы строки 3, умноженные на 9/38.

От элементов строки G отнимает соответствующие элементы строки 3, умноженные на -11/19.

От элементов строки W отнимает соответствующие элементы строки 3, умноженные на -219/76.

Элементы столбца r₃ можно не пересчитывать, так как переменная r₃ больше не является базисной.

Таблица 5.12

	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	СЧ
x2	0	1	351 365	0	0	- 41 365	1 73	3 73	7 730	132 73
x1	1	0	61 1095	0	0	- 56 1095	- 20 219	13 219	76 1095	134 219
x5	0	0	- 260 219	0	1	52 219	- 1 219	- 76 219	- 8 219	598 219
x4	0	0	264 365	1	0	- 9 365	2 73	6 73	- 66 365	556 73
G	0	0	- 4856 1095	0	0	2986 1095	34 219	- 44 219	2674 1095	- 51868 219
W	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0

X ₄ = (134/219 , 132/73 , 0 , 556/73 , 598/219 , 0 , 0 , 0 , 0)

W = 0

Значение функции W для данного решения: W (X ₄) = 0

Строка W нам больше не нужна.

Мы нашли начальное опорное решение функции G .

X _нач. = (134/219 , 132/73 , 0 , 556/73 , 598/219 , 0 , 0 , 0 , 0)

G = -51868/219 + 4856/1095 x₃ -2986/1095 x₆ -34/219 x₇ + 44/219 x₈ -2674/1095 x₉

Значение функции для данного решения: G (X _нач) = -51868/219

Шаг 5

За ведущий выберем столбец 3 , так как -4856/1095 наименьший элемент в G строке. Элемент G строки, принадлежащий столбцу свободных членов не рассматриваем.

За ведущую выберем строку 1, так как отношение свободного члена к соответствующему элементу выбранного столбца для 1 строки является наименьшим. Отношение вычисляется только для положительных элементов столбца 3.

Таблица 5.13

	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	СЧ	О
x2	0	1	351 365	0	0	- 41 365	1 73	3 73	7 730	132 73	220 117
x1	1	0	61 1095	0	0	- 56 1095	- 20 219	13 219	76 1095	134 219	670 61
x5	0	0	- 260 219	0	1	52 219	- 1 219	- 76 219	- 8 219	598 219	-
x4	0	0	264 365	1	0	- 9 365	2 73	6 73	- 66 365	556 73	695 66
G	0	0	- 4856 1095	0	0	2986 1095	34 219	- 44 219	2674 1095	- 51868 219	-

Необходимо разделить элементы строки 1 на 351/365.

Таблица 5.14

	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	СЧ	О
x2	0	365 351	1	0	0	- 41 351	5 351	5 117	7 702	220 117	220 117
x1	1	0	61 1095	0	0	- 56 1095	- 20 219	13 219	76 1095	134 219	670 61
x5	0	0	- 260 219	0	1	52 219	- 1 219	- 76 219	- 8 219	598 219	-
x4	0	0	264 365	1	0	- 9 365	2 73	6 73	- 66 365	556 73	695 66
G	0	0	- 4856 1095	0	0	2986 1095	34 219	- 44 219	2674 1095	- 51868 219	-

От элементов строки 2 отнимает соответствующие элементы строки 1, умноженные на 61/1095.

От элементов строки 3 отнимает соответствующие элементы строки 1, умноженные на -260/219.

От элементов строки 4 отнимает соответствующие элементы строки 1, умноженные на 264/365.

От элементов строки G отнимает соответствующие элементы строки 1, умноженные на -4856/1095.

Таблица 5.15

	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	СЧ
x3	0	365 351	1	0	0	- 41 351	5 351	5 117	7 702	220 117
x1	1	- 61 1053	0	0	0	- 47 1053	- 97 1053	20 351	145 2106	178 351
x5	0	100 81	0	0	1	8 81	1 81	- 8 27	- 2 81	134 27
x4	0	- 88 117	0	1	0	7 117	2 117	2 39	- 22 117	244 39
G	0	4856 1053	0	0	0	2326 1053	230 1053	- 4 351	2618 1053	- 80204 351

X ₁ = (178/351 , 0 , 220/117 , 244/39 , 134/27 , 0 , 0 , 0 , 0 )

G = -80204/351 -4856/1053 x₂ -2326/1053 x₆ -230/1053 x₇ + 4/351 x₈ -2618/1053 x₉

Значение функции G для данного решения: G (X ₁) = -80204/351

Шаг 6:

За ведущий выберем столбец 8 , так как -4/351 наименьший элемент в G строке. Элемент G строки, принадлежащий столбцу свободных членов не рассматриваем.

За ведущую выберем строку 2, так как отношение свободного члена к соответствующему элементу выбранного столбца для 2 строки является наименьшим. Отношение вычисляется только для положительных элементов столбца 8.

Таблица 5.16

	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	СЧ	О
x3	0	365 351	1	0	0	- 41 351	5 351	5 117	7 702	220 117	44
x1	1	- 61 1053	0	0	0	- 47 1053	- 97 1053	20 351	145 2106	178 351	89 10
x5	0	100 81	0	0	1	8 81	1 81	- 8 27	- 2 81	134 27	-
x4	0	- 88 117	0	1	0	7 117	2 117	2 39	- 22 117	244 39	122
G	0	4856 1053	0	0	0	2326 1053	230 1053	- 4 351	2618 1053	- 80204 351	-

Необходимо разделить элементы строки 2 на 20/351.

Таблица 5.17

	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	СЧ	О
x3	0	365 351	1	0	0	- 41 351	5 351	5 117	7 702	220 117	44
x1	351 20	- 61 60	0	0	0	- 47 60	- 97 60	1	29 24	89 10	89 10
x5	0	100 81	0	0	1	8 81	1 81	- 8 27	- 2 81	134 27	-
x4	0	- 88 117	0	1	0	7 117	2 117	2 39	- 22 117	244 39	122
G	0	4856 1053	0	0	0	2326 1053	230 1053	- 4 351	2618 1053	- 80204 351	-

От элементов строки 1 отнимает соответствующие элементы строки 2, умноженные на 5/117.

От элементов строки 3 отнимает соответствующие элементы строки 2, умноженные на -8/27.

От элементов строки 4 отнимает соответствующие элементы строки 2, умноженные на 2/39.

От элементов строки G отнимает соответствующие элементы строки 2, умноженные на -4/351.

Таблица 5.18

	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	СЧ
x3	- 3 4	13 12	1	0	0	- 1 12	1 12	0	- 1 24	3 2
x8	351 20	- 61 60	0	0	0	- 47 60	- 97 60	1	29 24	89 10
x5	26 5	14 15	0	0	1	- 2 15	- 7 15	0	1 3	38 5
x4	- 9 10	- 7 10	0	1	0	1 10	1 10	0	- 1 4	29 5
G	1 5	23 5	0	0	0	11 5	1 5	0	5 2	- 1142 5

X ₂ = (0 , 0 , 3/2 , 29/5 , 38/5 , 0 , 0 , 89/10 , 0)

G = -1142/5 -1/5 x₁ -23/5 x₂ -11/5 x₆ -1/5 x₇ -5/2 x₉

Значение функции G для данного решения: G (X ₂) = -1142/5

Учитывая, что все x _i0, по условию задачи, наибольшее значение функции G равно свободному члену -1142/5, т.е. это оптимальное решение.

Теперь можно записать ответ.

Ответ:

X _опт = (0 , 0 , 3/2 , 29/5 , 38/5 , 0 , 0 , 89/10 , 0)

Значение функции: Z = 1142/5 = 233,3