-
Алгоритм решения задачи
Таблица 4.1
|
|
Хлеб |
Соя |
Сушеная рыба |
Фрукты |
Молоко |
|
Белки Углеводы Жиры Витамины |
2 12 1 2 |
12 0 8 2 |
10 0 3 4 |
1 4 0 6 |
2 3 4 2 |
|
Цена |
12 |
36 |
32 |
18 |
10 |
Необходимо ввести переменные и обозначить функцию: x1 – хлеб (а так же содержащиеся в нём белки, углеводы, жиры, витамины).
x2 – соя (а так же содержащиеся в ней белки, углеводы, жиры, витамины).
x3 – сушёная рыба (а так же содержащиеся в ней белки, углеводы, жиры, витамины).
x4 – фрукты (а так же содержащиеся в них белки, углеводы, жиры, витамины).
x5 – молоко (а так же содержащиеся в нём белки, углеводы, жиры, витамины).
В целевой функции указана стоимость вышеперечисленных продуктов (расположенных в порядке соответствующем вышеперечисленным переменным).
Найдем наименьшее значение линейной функции
Z = 12*х1 + 36*х2 + 32*х3 + 18*х4 + 10*х5
Ограничивающие
условия ( «≥» в соответствии с вариантом):
2*х1 + 12*х2 + 10*х3 + 1*х4 + 2*х5 >= 36
12*х1 + 0*х2 + 0*х3 + 4*х4 + 3 *х5 >= 46
1*х1 + 8*х2 + 3*х3 + 0 *х4 + 4 *х5 >= 26
2*х1 + 2*х2 + 4*х3 + 6*х4 + 2*х5 >=56
Умножим коэффициенты исходной функции на -1.
Z = -12*х1 - 36*х2 - 32*х3 - 18*х4 - 10*х5
Будем искать наибольшее значение получившейся функции. Максимальное значение рассматриваемой функции равно наименьшему значению исходной функции по модулю, но значения противоположны по знаку. Другими словами, получившийся ответ нужно умножить на -1.
Необходимо найти начальное опорное (абсолютно произвольное) решение для функции Z, которое бы удовлетворяло системе наложенных ограничений. Далее, применяя симплекс таблицы, получаются решения, при которых значение функции будет, как минимум, не убывать. И так до тех пор, пока оптимальное значение не будет достигнуто, а функция достигает своего максимума. Если, конечно, рассматриваемая линейная функция обладает максимальным значением при заданной системе ограничений. Перед применением симплекс таблиц, необходимо преобразовать систему линейных ограничений и рассматриваемую функцию Z к вполне определенному виду:
-
Свободные члены системы ограничений должны быть неотрицательными.
Свободные члены системы ограничений неотрицательные.
-
Система ограничений должна быть приведена к каноническому виду.
От левой части неравенства 1 системы ограничений отнимаем неотрицательную переменную x6 - преобразуем неравенство 1 в равенство.
От левой части неравенства 2 системы ограничений отнимаем неотрицательную переменную x7 - преобразуем неравенство 2 в равенство.
От левой части неравенства 3 системы ограничений отнимаем неотрицательную переменную x8 - преобразуем неравенство 3 в равенство.
От левой части неравенства 4 системы ограничений отнимаем неотрицательную переменную x9 - преобразуем неравенство 4 в равенство.
|
|
|
2 |
x1 |
+ |
12 |
x2 |
+ |
10 |
x3 |
+ |
|
x4 |
+ |
2 |
x5 |
- |
|
x6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
36 |
|
|
12 |
x1 |
|
|
|
|
|
|
+ |
4 |
x4 |
+ |
3 |
x5 |
|
|
|
- |
|
x7 |
|
|
|
|
|
|
= |
46 |
|
|
|
|
x1 |
+ |
8 |
x2 |
+ |
3 |
x3 |
|
|
|
+ |
4 |
x5 |
|
|
|
|
|
|
- |
|
x8 |
|
|
|
= |
26 |
|
|
|
2 |
x1 |
+ |
2 |
x2 |
+ |
4 |
x3 |
+ |
6 |
x4 |
+ |
2 |
x5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
x9 |
= |
56 |
Система ограничений приведена к каноническому виду, т.е. все условия системы представляют собой уравнения.
-
Определимся с начальным опорным решением.
Наличие единичного базиса в системе ограничений позволяет легко найти начальное опорное решение.
В уравнении 1 нет переменной, которая входила бы в него с коэффициентом 1 , а в остальные уравнения системы входила бы с коэффициентом ноль. Нужно добавить к данному уравнению искусственную переменную r1. Очевидно, переменная r1 будет являться базисной переменной, т.к. входит в уравнение 1 с коэффициентом 1 и не входит в оставшиеся уравнения системы ограничений.
В уравнении 2 нет переменной, которая входила бы в него с коэффициентом 1 , а в остальные уравнения системы входила бы с коэффициентом ноль. Нужно добавить к данному уравнению искусственную переменную r2. Очевидно, переменная r2 будет являться базисной переменной, т.к. входит в уравнение 2 с коэффициентом 1 и не входит в оставшиеся уравнения системы ограничений.
В уравнении 3 нет переменной, которая входила бы в него с коэффициентом 1 , а в остальные уравнения системы входила бы с коэффициентом ноль. Нужно добавить к данному уравнению искусственную переменную r3. Очевидно, переменная r3 будет являться базисной переменной, т.к. входит в уравнение 3 с коэффициентом 1 и не входит в оставшиеся уравнения системы ограничений.
В уравнении 4 нет переменной, которая входила бы в него с коэффициентом 1 , а в остальные уравнения системы входила бы с коэффициентом ноль. Нужно добавить к данному уравнению искусственную переменную r4. Очевидно, переменная r4 будет являться базисной переменной, т.к. входит в уравнение 4 с коэффициентом 1 и не входит в оставшиеся уравнения системы ограничений. И получится:
|
|
|
2 |
x1 |
+ |
12 |
x2 |
+ |
10 |
x3 |
+ |
|
x4 |
+ |
2 |
x5 |
- |
|
x6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
x10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
36 |
|
|
12 |
x1 |
|
|
|
|
|
|
+ |
4 |
x4 |
+ |
3 |
x5 |
|
|
|
- |
|
x7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
x11 |
|
|
|
|
|
|
= |
46 |
|
|
|
|
x1 |
+ |
8 |
x2 |
+ |
3 |
x3 |
|
|
|
+ |
4 |
x5 |
|
|
|
|
|
|
- |
|
x8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
x12 |
|
|
|
= |
26 |
|
|
|
2 |
x1 |
+ |
2 |
x2 |
+ |
4 |
x3 |
+ |
6 |
x4 |
+ |
2 |
x5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
x9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
x13 |
= |
56 |
Переменные, которые не являются базисными называются свободными переменными. Приравняв свободные переменные нулю в получившейся системе ограничений получится начальное решение.
X нач = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 36, 46, 26, 56)
Для нахождения начального опорного решения функции G, сначала придется решить вспомогательную задачу.
Введем в рассмотрение вспомогательную функцию W:
W = -r1 - r2 - r3 - r4
Найдем наибольшее значение функции W.
Схема решения вспомогательной задачи аналогична схеме описанной выше. Есть только одно исключение: вспомогательная задача всегда имеет решение.
В процессе решения данной задачи возможны два варианта. Если максимальное значение вспомогательной функции W равно нулю.
В противном случае, не существует решений, удовлетворяющих системе ограничений.
Функция G и вспомогательная функция W не должны содержать базисных переменных.
Из уравнения 1 последней системы нужно выразить r1 и подставить в выражение функции W, и получится
W = -36 + 2 x1 + 12 x2 + 10 x3 + x4 + 2 x5 - x6 - r2 - r3 - r4
Из уравнения 2 последней системы необходимо выразить r2 и подставим в выражение функции W, и получится
W = -82 + 14 x1 + 12 x2 + 10 x3 + 5 x4 + 5 x5 - x6 - x7 - r3 - r4
Из уравнения 3 последней системы необходимо выразить r3 и подставим в выражение функции W, и получится
W = -108 + 15 x1 + 20 x2 + 13 x3 + 5 x4 + 9 x5 - x6 - x7 - x8 - r4
Из уравнения 4 последней системы необходимо выразить r4 и подставим в выражение функции W, и получится
W = -164 + 17 x1 + 22 x2 + 17 x3 + 11 x4 + 11 x5 - x6 - x7 - x8 - x9
Значение функции W для начального решения: W (X нач) = -164
Вернемся к рассмотрению функции G.
G = -12 x1 -36 x2 -32 x3 -18 x4 -10 x5
Функция G и вспомогательная функция W не содержат базисных переменных.
Для составления начальной симплекс таблицы необходимо выполнить все условия.