11. Назовите основные шаги симплекс-метода.

На первом этапе находят одно из решений, удовлетворяющее системе ограничений. Системы, в которых переменных больше, чем ограничений N > m, называются неопределенными. Они приводятся к определенным системам (N = m) путем приравнивания к нулю N-m каких-либо переменных. При этом остается система m уравнений с m неизвестными, которая имеет решение, если определитель системы отличен от нуля. В симплекс-методе вводится понятие базисных переменных, или базиса. Базисом называется любой набор из m таких переменных, что определитель, составленный из коэффициентов при этих переменных в m-ограничениях, отличен от нуля. Остальные N-m переменных называются небазисными, или свободными переменными. Если принять, что все небазисные переменные равны нулю, и решать систему ограничений относительно базисных переменных, то получится базисное решение.

В системе из m уравнений с N неизвестными общее число базисных решений при N > m определяется числом сочетаний

1. 

Базисное решение, в котором все x_i0, i = 1,m, называется допустимым базисным решением. Таким образом, первый этап решения, используя симплекс-метод, завершается нахождением допустимого базисного решения, хотя бы и неудачного.

На втором этапе производится последовательное улучшение найденного решения. При этом осуществляется переход от одного допустимого базисного решения к другому таким образом, чтобы значение

целевой функции улучшилось. Процесс решения, используя симплекс-метод, продолжается до тех пор, пока не будет достигнуто наименьшее (или наибольшее) значение функции цели. Геометрически это означает переход по ребрам из одной вершины многогранника допустимых значений в другую по направлению к той, в которой значение функции цели достигает экстремума.

Симплекс-метод дает оптимальную процедуру перебора базисных решений и обеспечивает сходимость к экстремальной точке за конечное число шагов. Используя симплекс-метод, вычисления на втором этапе ведутся по следующей схеме:

1. базисные переменные и функция цели выражаются через небазисные переменные;

2. по определенному правилу выбирается та из небазисных переменных, изменение значения которой способно улучшить значение F(x) , и она вводится в базис;

3. определяется, какая из базисных переменных должна быть выведена из базиса, при этом новый набор базисных переменных, образующийся на каждом шаге, отличается от предыдущего только одной переменной;

4. базисные переменные и функция цели выражаются через новые небазисные переменные, и повторяются операции b) и c).

2. Если на определенном шаге в симплекс-методе окажется, что изменение значений любой из небазисных переменных не может улучшить F(x) , то последнее базисное решение оказывается оптимальным.

12. Приведите основные шаги двойственного симплекс-метода.

Понятие двойственности можно рассмотреть на примере задачи оптимального использования сырья. Пусть на предприятии решили рационально использовать отходы основного производства. В плановом периоде появились отходы сырья m видов в объемах единиц . Из этих отходов, учитывая специализацию предприятия, можно наладить выпуск n

видов неосновной продукции. Через   необходимо норму расхода сырья i-го вида на единицу j-й продукции, - цена реализации единицы j-й продукции (реализация обеспечена). Неизвестные величины задачи: — объемы выпуска j-й продукции, обеспечивающие предприятию максимум выручки.

Математическая модель задачи:

Предположим далее, что с самого начала при изучении вопроса об использовании отходов основного производства на предприятии появилась возможность реализации их некоторой организации. Необходимо установить прикидочные оценки (цены) на эти отходы. Обозначим их.

Оценки должны быть установлены исходя из следующих требований, отражающих несовпадающие интересы предприятия и организации:

• общую стоимость отходов сырья покупающая организация стремится минимизировать;

• предприятие согласно уступить отходы только по таким ценам, при которых оно получит за них выручку, не меньшую той, что могло бы получить, организовав собственное производство.

Эти требования формализуются в виде следующей ЗЛП.

Требование 1 покупающей организации – минимизация покупки:

Требование 2 предприятия, реализующего отходы сырья, можно сформулировать в виде системы ограничений. Предприятие откажется от

выпуска каждой единицы продукции первого вида, если , где левая часть означает выручку за сырье, идущее на единицу продукции первого вида; правая – её цену.

Аналогичные рассуждения логично провести в отношении выпуска продукции каждого вида. Поэтому требование предприятия, реализующего отходы сырья, можно формализовать в виде сл. системы ограничений:

По смыслу задачи оценки не должны быть отрицательными:

.

Переменны   называют двойственными оценками или объективно обусловленными оценками.

Задачи (2.23) - (2.25) и (2.26) - (2.28) называют парой взаимно двойственных ЗЛП.

Между прямой и двойственной задачами можно установить следующую взаимосвязь:

• Если прямая задача на максимум, то двойственная к ней — на минимум, и наоборот.

• Коэффициенты целевой функции прямой задачи являются свободными членами ограничений двойственной задачи.

• Свободные члены ограничений прямой задачи являются коэффициентами целевой функции двойственной.

• Матрицы ограничений прямой и двойственной задач являются транспонированными друг к другу.

• Если прямая задача на максимум, то ее система ограничений представляется в виде неравенств типа . Двойственная задача решается на минимум, и ее система ограничений имеет вид неравенств типа .

• Число ограничений прямой задачи равно числу переменных двойственной, а число ограничений двойственной — числу переменных прямой.

• Все переменные в обеих задачах неотрицательны.