3.12.2.1.2 Примеры минимизации пф с помощью диаграмм Вейча

Пример 1. Для контроля за возможной деформацией металлической конструкции из-за перегрева в ее различных критических точках установлены четыре термодатчика, обозначенные ТД1, ТД2, ТД3, ТД4. Экспериментальные исследования конструкции показали, что в процессе ее эксплуатации возможны шесть сочетаний сработавших и не сработавших датчиков. При этом деформация конструкции возникала в следующих случаях:

1) сработали ТД4, ТД3 и не сработали ТД2 и ТД1;

2) сработали ТД4, ТД3, ТД2 и ТД1;

3) сработали ТД2 и не сработали ТД4, ТД3 и ТД1;

4) сработали ТД3, ТД2 и ТД1 и не сработал ТД4;

В случаях, когда:

5) сработали ТД4, ТД3, ТД2 и не сработал ТД1;

6) сработали ТД2, ТД1 и не сработали ТД4, ТД3

деформация конструкции не возникала.

Таблица 3.5
№	Состояние датчиков		Деформация конструкции
	Сработали	Не сработали
1	ТД4, ТД3	ТД2, ТД1	Возникала
2	ТД4 ... ТД1	―
3	ТД2	ТД4, ТД3, ТД1
4	ТД3, ТД2, ТД1	ТД4
5	ТД4, ТД3, ТД2	ТД1	Не возникала
6	ТД2, ТД1	ТД4, ТД3

По условию эксплуатации конструкции другие сочетания сработавших и не сработавших датчиков невозможны.

Необходимо спроектировать цифровое логическое устройство, включающее сигнал тревоги, если происходит срабатывание термодатчиков в опасном сочетании.

Обозначим цифровые сигналы на выходе термодатчиков логическими переменными: ТД4→D; ТД3→С; ТД2→В; ТД1→А, а логическую функцию, которую должно реализовать устройство контроля – F.

Составим таблицу истинности, отражающую требуемую логическую функцию (таблица 3.6).

Таблица 3.6
	(ТД4)	(ТД3)	(ТД2)	(ТД1)
№ набора	D	C	B	A	F
0	0	0	0	0	-
1	0	0	0	1	-
2	0	0	1	0	1	3)
3	0	0	1	1	0	6)
4	0	1	0	0	-
5	0	1	0	1	-
6	0	1	1	0	-
7	0	1	1	1	1	4)
8	1	0	0	0	-
9	1	0	0	1	-
10	1	0	1	0	-
11	1	0	1	1	-
12	1	1	0	0	1	1)
13	1	1	0	1	-
14	1	1	1	0	0	5)
15	1	1	1	1	1	2)

Диаграмма Вейча, отражающая данную таблицу, показана на рисунке 3.2.

Рисунок 3.2

Если будем производить минимизацию по единицам, то в клетки, содержащие прочерки проставим дополнительные единицы.

Основные единицы накрываем тремя контурами: 1-й контур (1_I) образуют клетки первой и последней строки, 2-й (1_II) - клетки 2-го столбца и 3-й (1_III) - 4-го столбца.

Итоговое булево выражение минимизированной ПФ имеет вид

.(3.9)

Это выражение должно быть реализовано цифровым логическим устройством, включающим сигнал тревоги.

Рассматриваемую функцию можно минимизировать и по нулевым значениям (нулям). Для этого доопределяем клетки с номерами 1,6,9 и 11 нулями и накрываем два основных нуля двумя прямоугольниками, включающими два и четыре элемента (нуля). Первый прямоугольник (0_I) охватывает клетки с номерами 6,14, второй (0_II) – 1,3,11 и 9.

Итоговое булево выражение минимизированной ПФ имеет вид

.(3.10)

Оба выражения (3.9) и (3.10) эквивалентны, и применять следует то из них, которое проще реализуется на конкретном наборе логических элементов (базисе). Этот вопрос будет рассмотрен в следующих лекциях.

Пример 2. Необходимо разработать блок приоритетных прерываний от 2-х внешних устройств: ВУ1 и ВУ2. ВУ с меньшим номером соответствует более высокий приоритет. Упрощенная структура проектируемой системы показана на рисунке 3.3.

Рисунок 3.3

На схеме приняты следующие сокращения: МПС – микропроцессорная система; ВУ – внешнее устройство; БПП – блок приоритетных прерываний; ВТП – вектор текущего прерывания, который с помощью логических переменных β₁, β₂ описывает возможные состояния МП-системы при обслуживании запросов прерываний от ВУ (таблица 3.7); РТП – регистр текущего прерывания (запоминает значения переменных β₁, β₂); ЗП1, ЗП2 – запросы прерываний от ВУ1, ВУ2 (описываются переменными α₁, α₂); ТП – требование прерывания (логическая функция F₃); ВЗП – вектор запроса прерывания (отображается комбинацией значений логических функций F₁ и F₂ (таблица 3.8)).

Таблица 3.7
№ набора	β1	β2	ВТП
0	0	0	ожидание
1	0	1	обслуживается ВУ1
2	1	0	обслуживается ВУ2
3	1	1	–

Таблица 3.8
ВЗП	F1	F2
F3 =0 или неопределено	–	–
Запрос от ВУ2	1	0
Запрос от ВУ1	0	1

МП-система периодически проверяет значение сигнала ТП (функция F₃). Если ТП=0 (запрос на прерывание отсутствует), то значения функций F₁, F₂ безразличны и МПС продолжает свою работу. Если ТП=1, то МП-система анализирует значение вектора ВЗП (комбинацию функций F₁, F₂) и определяет номер запроса прерывания. Так как набор переменных β₁=β₂=1 невозможен (таблица 3.6), то функции F₁, F₂, F₃ в таких случаях неопределены. Таким образом, задача БПП является реализация трех логических функций F₁, F₂, F₃, каждая из которых определяется значениями четырех логических переменных: α₁, α₂, β₁и β₂.

Составим таблицу истинности (таблица 3.9) для названных функций.

Таблица 3.9
	D	C	B	A
№ набора	α1	α2	β1	β2	F3	F1	F2
0	0	0	0	0	0	-	-
1	0	0	0	1	0	-	-
2	0	0	1	0	0	-	-
3	0	0	1	1	-	-	-
4	0	1	0	0	1	1	0
5	0	1	0	1	0	-	-
6	0	1	1	0	0	-	-
7	0	1	1	1	-	-	-
8	1	0	0	0	1	0	1
9	1	0	0	1	0	-	-
10	1	0	1	0	1	0	1
11	1	0	1	1	-	-	-
12	1	1	0	0	1	0	1
13	1	1	0	1	0	-	-
14	1	1	1	0	1	0	1
15	1	1	1	1	-	-	-

Представляем функции F₁, F₂, F₃ диаграммами Вейча (рисунок 3.4)

Для F3	Для F1
Для F2
Рисунок 3.4

Булевы выражения минимизированных ПФ имеют вид:

F₃=. (3.11)

F₁=. (3.12)

F₂=. (3.13)

Полученные выражения (3.11-3.13) имеют вполне конкретное логическое толкование и при наличии определенных навыков могли быть получены без составления таблицы истинности и минимизации ПФ.

Так, если F₃=1, а в противном случае F₁ и F₂ безразличны, то запрос от ВУ1 в виде комбинации F₁=0, F₂=1 поступит лишь тогда, когда α₁=1. Значение α₂ безразлично, так как даже при α₁=α₂=1 все равно α₁ имеет более высокий приоритет. Если α₁=0, а F₃=1, то это значит, что требование прерывания вызвано запросом от ВУ2 (α₂=1). При записи выражения (3.11) можно было руководствоваться следующими соображениями. F₃=1 в двух случаях. Во-первых, если поступил запрос от ВУ1 (α₁=1) и при этом МП-система ожидает запроса либо обслуживает прерывание от ВУ2 (в обоих случаях β₂=0, см. таблицу 3.8). Во вторых, если поступил запрос от ВУ2 (α₂=1) и при этом МП-сиcтема находится в состоянии ожидания (β₁=β₂=0). Сказанное соответствует двум составляющим выражения (3.11).

На втором примере мы прошли 2 этапа синтеза комбинационных цифровых электронных устройств:

1. Представление переключательных функций в форме, которая является исходной для выбранного метода минимизации - в нашем случае в виде таблицы истинности и диаграммы Вейча.

2. Получение минимальной ДНФ для каждого выхода комбинационной схемы.