3.9 Дизъюнктивная нормальная форма (днф)

Если в выражении (3.2) во всех или некоторых конъюнкциях отсутствуют отдельные переменные (в прямой или инверсной форме) или ряд конъюнкций, отображающих конституенты единицы, отсутствуют вообще, то такая форма представления булевого выражения называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ).

Переключательная функция может описываться несколькими булевыми выражениями в ДНФ, одно из которых является минимальным (содержит минимум конъюнкций и минимум входящих в них переменных).

3.10 Совершенная конъюнктивная нормальная форма (скнф) записи булевых выражений

Описанная таблицей 3.4 переключательная функция помимо конституент единицы содержит конституенты нуля К₀, К₂, К₃ и К₇ (конституента нуля – это нулевое значение ПФ на одном конкретном наборе). Всего для ПФ 3-х переменных может быть восемь конституент нуля, если функция принимает нулевое значение на всех наборах. Конституента нуля записывается в виде дизъюнкции. Для нашего примера (таблица 3.4) это

Булево выражение в СКНФ представляет собой произведение конституент нуля:

. (3.3)

СКНФ называется конъюнктивной (состоит из произведения дизъюнкций), совершенной (все дизъюнкции включают по одному разу каждую переменную в прямом или инверсном виде) и нормальной (двухуровневой) – для ее реализации требуются логические элементы двух видов: конъюнкторы и дизъюнкторы, при этом предполагается, что исходные переменные поступают в прямом или инверсном виде.

Логическая функция имеет единственное булево выражение в СКНФ.

3.11 Конъюнктивная нормальная форма (кнф)

Если в выражении (3.3) все дизъюнкции или отдельные из них не содержат всех переменных в прямом или инверсном виде, а также некоторые дизъюнкции вообще отсутствуют, то такая форма представления булевого выражения называется конъюнктивной нормальной формой (КНФ).

Переключательная функция может описываться несколькими булевыми выражениями в КНФ, одно из которых является минимальным (содержит минимум дизъюнкций и минимум входящих в них переменных).

3.12 Минимизация логических функций

Минимизацией называют процедуру упрощения аналитического выражения, представляющего переключательную (логическую) функцию, направленную на то, чтобы булево выражение ПФ содержало минимальное количество членов с минимальным числом переменных.

Способы минимизации:

– алгебраический;

– с помощью диаграмм Вейча (карт Карно).

3.12.1 Алгебраический способ минимизации пф

В некоторых простых случаях можно осуществить минимизацию булевого выражения ПФ, используя тождества и теоремы булевой алгебры.

Пример 1. Исходное булево выражение:

. (3.4)

Применяя теорему склеивания, получим булево выражение

, (3.5)

которое равносильно (эквивалентно) исходному, но значительно проще его.

Пример 2. Исходное булево выражение:

. (3.6)

Используя тождество А=А+А и теорему склеивания получим более простое выражение

. (3.7)

Такие элементарные приемы минимизации удается использовать, если исходное булево выражение содержит малое количество членов с небольшим числом переменных.

Более наглядным и удобным является минимизация с применением диаграмм Вейча (карт Карно).

3.12.2 Минимизация пф с использованием диаграмм Вейча (карт Карно)

Диаграммы Вейча (карты Карно) [3, 11, 18] построены так, что их соседние клетки содержат члены исходной ПФ, отличающиеся значением одной переменной: один член содержит эту переменную в прямой форме, а другой – в инверсной. Благодаря этому возникает наглядное представление о различных вариантах склеивания смежных членов.