оптика / дифракция

Дифракция света.

Дифракцией света называется явление отклонения от прямолинейного распространения волн, огибание волнами препятствий и захождение волн в область геометрической тени.

Принцип Гюйгенса-Френеля (ГФ).

Качественно явление дифракции света объясняется на основе принципа Гюйгенса: каждая точка пространства, до которой дошло световое возбуждение становится источником вторичных волн, распространяющихся в данной среде с характерной для нее фазовой скоростью V. Геометрическое место точек, до которых доходит световое возбуждение за один и тот же промежуток времени носит название фронта волны или волновой поверхности. Огибающая вторичных волн есть новое положение волнового фронта в последующий момент времени.

Пусть распространяется волна и ее волновой фронт в некоторый момент времени есть поверхность Ф. На пути световой волны поставим диафрагму с отверстием шириной а. Волновой фонт заполняет отверстие, и каждая точка отверстия становится источником вторичных волн, а их огибающая есть новое положение волнового фронта. При этом волновой фронт загибается на концах, также как и лучи, нормали к волновой поверхности. Количественный расчет дифракции был предпринят Френелем, который исходил из ряда положений, принимающихся без доказательства и составляющих принцип ГФ.

1)Следуя Гюйгенсу Френель предложил заменить реально действующий источник излучения эквивалентной ему совокупностью вторичных (виртуальных) источников и испускаемых ими вторичных волн. В качестве вторичного

источника выступают бесконечно малые участки поверхности S замкнутой вокруг S0. Выбор поверхности S произволен, но чаще всего поверхность S совпадает с волновой поверхностью.

2)Френель развил идеи Гюйгенса и предположил, что все вторичные источники когерентны между собой и

испускают когерентные волны, т.о. в любой точке вне S, волны, идущие от S0 представляют собой интерференцию вторичных волн.

3)Для поверхности S1, совпадающей с волновой поверхностью равные по площади вторичные источники испускают равное по мощности вторичное излучение.

4)Каждый вторичный источник, излучает в направлении внешней нормали к волновой поверхности в этой точке. Интенсивность излучения (амплитуда) в т.Р тем меньше, чем больше угол α между внешней нормалью ˉn и радиус-вектором ˉr проведенным в точке наблюдения. Фаза результирующего колебания также зависит ˉr.

5)Если часть волновой поверхности перекрыта непрозрачным экраном, то световое воздействие в точке наблюдателя осуществляется открытыми вторичными источниками. Для нахождения результирующего колебания

вточке P, необходимо просуммировать вторичные источники по их амплитуде и фазам. Для этого существует приближенный метод расчета интерференции вторичных волн – метод зон Френеля.

Метод зон Френеля. (МЗФ)

Пусть в точке S находится точечный источник монохроматического света, который по всем направлениям испускает сферичные волны. В любой момент времени волновая поверхность Ф есть сферичная поверхность S. В т.P находится наблюдатель. Для определения светового воздействия в т.P согласно принципу ГФ следует заменить реальный волновой фронт эквивалентной совокупностью вторичных источников. В МЗФ такими вторичными источниками выступают кольцевые зоны получившиеся на поверхности Ф путем проведения с

центром в т.P окружности с радиусом r1=r0+λ/2; r2=r1+λ/2=r0+2λ/2; rk=r0+kλ/2.

При таком построении колебания от каждой последующей зоны сдвинуты по отношению к колебанию от предыдущей зоны на λ/2, т.е. находятся в противофазе и будут гасить друг друга, т.е. их амплитуды будут

вычитаться: AР=A1-A2+A3-A4+..=±Ak;

Можно доказать, что все зоны имеют одинаковую площадь: для первой зоны, σ1=2πrx (2), ∆ABP: (AB)2=(r0+λ/2)2- (r0+x)2, ∆SAB: (AB)2=R2-(R-x)2, R2-R2+2Rx-λ2=r0+λr0+λ2/4-r02-2r0x-x2, {слагаемым λ2/4→0 пренебрегаем}, 2x(R+r0)=r0λ,

x=r0λ/(2(R+r0)) (3), σ1=πRr-λ/(R+r0) (4). Для второй зоны σ2'=2πRr0/(R+r0) – для шарового сектора, σ2=πRr0λ/(R+r0) –

для всей зоны. Откуда σ1=σ2=..σ – площади всех зон одинаковы.

(AB)2=R2-R2+2Rx-x2, {x2→0 пренебрегаем}, Rk=√(2Rr0λ/(2(R+r0))) – радиус зоны Френеля в случае волнового фронта.

Согласно принципу Г-Ф в силу "одинаковости" площадей всех зон, то они должны испускать одинаковое по мощности вторичное излучение. Однако до наблюдателя в т.Р доходит излучение различной интенсивности, т.к. с увеличением номера зоны увеличивается радиус вектор и угол между нормалью и радиусом вектором: r1<r2<..<rk

_ A1>A2..>Ak.

Выражение (1) можно представить в виде: AР=(A1/2)+((A1/2)–A2+(A3/2))[=0]+((A3/2)–A4+(A5/2))[=0]..±Ak/2; т.к. две соседние зоны мало отличаются по амплитуде, то можно считать, что каждая четная зона равна полусумме

соседних с ней нечетных зон, тогда скобки в предыдущем выражении обращаются в ноль и АР=A1/2±Ak/2. Если k→∞ (полностью открытый волновой фронт), то Ak/2→0 и тогда АР=A1/2, т.е. в этом случае свет распространяется вдоль узкого канала, соизмеримого с половиной центральной зоны Френеля, т.е. прямолинейно.

Графич. метод нахождения результирующей амплитуды дифрагированной волны.

Если в данную точку приходит световое возбуждение от части волнового фронта, то эту часть разбивают на малые участки, столь малые, чтобы можно было считать, что фаза колебаний, создаваемых в точке наблюдения

– есть величина постоянная. Применим графический метод к методу зон Френеля. Разобьем центральную зону на 6 участков. ˉA1 – выражение, действительное в т.P всей первой зоны Френеля. Если участки уменьшаются до малых размеров, то ломанная линия заменится дугой, близкой к полуокружности. (рис.4) Вектор ˉA2 направленный ↑↓ вектору ˉA1, символизирует вывод метода зон Френеля о противоп. разности фаз колебаний относительно зон Френеля. A∞≈A1/2. (рис.5)

По своему характеру все дифракционные явления делятся на два класса: а) дифр. картина локализуется на конечном расстоянии от преград и препятствий - дифракции Френеля; б) явления, в которых дифр. картина локализуется на ∞ от препятствий и преград, т.е. дифрагируют плоские волны от удаленных источников - дифракции Фраунгофера.

Дифракции Френеля на круглых отверстиях и экранах.

Возможны два случая: отверстие (а) и экран (б).

а) Волна от источника S встречает ∞ экран с малым круглым отверстием AB. Исследуем световое воздействие в т.Р, лежащей на линии пересечения источника S с центром отверстия. Отверстие вырезает часть волновой поверхности, разобьем открытую часть волновой поверхности на зоны Френеля. (рис.6) В зависимости от размеров отверстий на ней укладывается то или иное количество зон. Если отверстие пропускает 1,3,5 зон, то световое воздействие в т.Р больше, чем при полностью открытом волновом фронте. Максимум светового воздействия в т.Р при k=1. (рис.7)

Если отверстие открывает небольшое четное число зон Френеля (k=2,4,6), то световое воздействие всегда меньше, чем при полностью открытом волновом фронте. Минимум воздействия отвечает отверстию в 2 зоны Френеля (рис.8).

б) Световая волна от источника S встречает на своем пути непрозрачный круглый экран AB (рис.9) Исследуем световое воздействие в т.Р. Экран перекрывает часть зон Френеля поэтому в т.Р приходят колебания от открытых зон Френеля. Используя рассуждения метода зон Френеля имеем: АР=A1'/2, A1' – первая открытая зона Френеля. Если экран открывает небольшое число зон Френеля, то освещенность в т.Р почти не отличается от случая с полностью открытым волновым фронтом. По мере увеличения размеров освещенность т.Р будет убывать, однако она остается освещенной. Лишь тогда, когда экран перекроет большое число зон Френеля, т.Р будет в области геометрической тени. Отсюда также вытекает вывод о прямолинейном распространении света. Дифракции Фраунгофера можно наблюдать с помощью оптических систем. (рис.10)

Дифракции плоских волн на одной щели.

(рис.11) Пучок плоских волн падает нормально на узкую щель шириной а в непрозрачном ∞ экране. Как только плоский волновой фронт достигает плоскости АВ, её точки становятся источниками вторичных волн, распространяющихся от плоскости АВ по всем направлениям.

Выберем одно, характеризуемое углом дифракции φ. || плоскостям цели помещаем собирательную линзу L в фокальной плоскости которой находиться экран. Волны. дифрагированные от щели АВ соберутся в т.Р экрана – точке пересечения побочной оптической оси линзы с фокальной плоскостью. В т.Р будет наблюдаться максимум или минимум, и это зависит от оптической разности хода. Для её определения проведем нормаль АС на направление дифрагированных волн – проекция волнового фронта на плоскость чертежа. Отрезок СВ – и есть оптическая разность хода, после плоскости АС волны идут без изменения оптической разности хода. Разобьем СВ на малые отрезки СВ1,В1В2, ..=λ/2. Проведем через эти отрезки прямые, || АС, до пересечения с АВ. В результате плоскость щели оказалось разбитой на отрезки АА1,А1А2,.., причем разность хода вторичных волн, идущих от т.А1 и т.А2 =λ/2.

Следовательно, цель разбита на отрезки, которые представляют собой зоны Френеля. Если их число – четное (2k), то каждая пара соседних зон гасит друг-друга и в т.Р наблюдается минимум, четное число соответствует четному числу отрезков λ/2 на отрезке СВ (разность хода): CB=∆=a·sinφ _ a·sinφ=±2kλ/2, k=1,2,.. – условие интерференционных минимумов. Если число отрезов нечетно, то это максимумы: a·sinφ=±(2k+1)λ/2.

Для определения освещенности экрана в любой точке дифракционной картины воспользуемся графическим методом. Для этого разобъем цель на ∞ число ∞ узких участков || ребру щели. Амплитуда от каждого такого малого участка будет постоянной, а разность фаз колебаний, приходящих в точку наблюдения будет в пределах:

δ=±2π∆/λ, ∆=a·sinφ, δ=±2π·a·sinφ/λ, Aφ=А0·|sin(2πa·sinφ/∆)/sin(2πa·sinφ/(∆·N))|, где N – число участков.

Если sinφ=0, φ=0, то Aφ=Amax=A0. Положение центрального максимума определяется углом дифракции φ _ в центре картины (в фокусе) наблюдается наиболее интенсивный максимум. Если с помощью последнего соотношения рассчитать Jm/J0 при различных значениях m, то получим: 1) k=0, Jφ~Aφ2, A02=φ02, Jφ/φ0=1; 2) k=1, Jφ/φ0=0,048; 3) k=2, Jφ/φ0=0,016; и т.д. В общем график распределения интенсивности от sinφ такой: [рис!]

Дифракция плоских волн на многих щелях. Дифракционная решетка.

Дифракционная решетка – совокупность щелей одинаковой ширины, разделенных одинаковыми непрозрачными промежутками. Решетки бывают прозрачными и отражательными.

Рассмотрим оптическую схему действия прозрачной дифракционной решетки. Пусть плоская монохромная волна падает нормально на дифракционную решетку, состоящую из N щелей шириной а, разделенными промежутками b. d=a+b это период решетки (постоянная решетки).

Т.к. волна падает нормально, то волновой фронт достигает плоскостей всех щелей одновременно _ все щели испускают вторичные волны в одинаковой фазе. Выделим вторичные волны, идущие под углом φ к плоскостям щелей. Они соберутся в некоторой т.Р экрана.

Если бы волны, идущие от различных щелей, были некогерентны, то результирующая картина на экране не отличалась бы от картины, наблюдаемой при дифракции на одной щели, лишь все интенсивности возросли бы в N2 раз. Однако вторичные волны, идущие от различных щелей когерентны, и это усложняет результирующую картину на экране, т.к. кроме интерференции вторичных волн, идущих от каждой точки внутри каждой щели, будет иметь место интерференция N дифрагированных волн, идущих от различных щелей. Иными словами, кроме дифракции на одной щели будет интерференция N дифрагированных пучков.

Для нахождения условия max и min на экране, воспользуемся графич. методом, для этого разобьем открываемую щелями часть волнового фронта на малые параллельные лучам участки, и обозначим амплитуду

колебаний, испускаемую каждым таким малым участком, ˉai. Тогда ˉA=Σпо I щелиˉai+Σпо II щелиˉai+..+Σпо N щелиˉai=ˉA1+ˉA2+..+ˉAN, где ˉAi – вектор амплитуды в т.Р от каждой щели.

Модули |ˉAi | одинаковы и определяются углом дифракции φ. Каждый последующий вектор повернут по отношению к предыдущему на угол δ, равный разности фаз, создаваемых в т.Р колебаниями от двух соседних щелей.

Разность фаз ∆ определяется разностью хода ∆=dsinφ. Очевидно, что min интенсивности на экране останется на тех же местах, что и при дифракции на одной щели, т.о. условие min: asinφ=kλ, сохраняется и при дифракции на

многих щелях. Если разность фаз δ от двух соседних щелей =0, то все векторы ˉai и ˉAi располагаются вдоль одной линии, _ ∆=dsinφ=0 - условие главного max в т.Р. В этом случае все векторы ˉai располагаются вдоль одной прямой. Т.о. условие ±2kπ=2π∆/λ, dsinφ=±kλ, где k=0,1,2, есть условие главных max на экране.

Кроме того, min в т.Р будут всякий раз тогда, когда ломанная из векторов ˉAi превращается в замкнутую ломанную. Вект. ˉAN образует с осью ОХ угол δN=±2kπ – он будет параллелен оси ОХ, δ=±(2kπ)/N; ±(2kπ)/N=±(2π∆)/λ, ∆=±kλ/N; dsinφ=±kλ/N (*), k≠N,2N,.., т.к. min→max _ (*) определяет положение на экране min,

которые называются добавочными. Между двумя добавочными min находятся добавочные max, интенсивность которых мала.

Из анализа распределений интенсивностей главных мах следует, что интенсивность главных мах определяется законом распределения интенсивности на одной щели. С увеличением числа щелей возрастает интенсивность гл. мах, т.к. возрастает количество света, пропускаемого щелями. Главное отличие заключается в том, что размытые широкие мах превращаются в узкие резкие линии, поэтому ДР м.б. диспергирующим элементом в спектральной аппаратуре.

Пространственная ДР (ПДР). Дифракция ренг. лучей.

Прохождение света через обычную ДР периодически изменяется в направлении, ┴ осям щелей. Такие решетки называются одномерными. Двумерную решетку можно представить как совокупность двух одномерных решеток, ориентированных т.о., что щели этих решеток взаимно перпендикулярны. ПДР можно представить как совокупность n двумерных решеток. Пример – монокристаллы, в которых частицы располагаются в строго определенном порядке вдоль трех координатных осей.

В 1913г. Вульф и Брэг наблюдали и объяснили дифракцию на ПДР. В монокристалле расстояние между узлами d≈1Å. Поэтому дифрагировать могут только волны, длина которых соизмерима с этим расстоянием. Они наблюдали дифракцию на монокристалле рентг. лучей. Такая дифракция – есть результат отражения лучей от || кристаллографических плоскостей, т.е. плоскостей, в которых находятся узлы кристаллической решетки.

AA’, BB’ – соседние || кристаллографические плоскости. При этом отражение имеет место при таких условиях падения (при углах скольжения θ) при которых отраженные волны 1’ и 2’ являются когерентными и для них выполняются условия max интерференции: ∆=kλ, k=1,2,3… Все среды для рентгеновских лучей являются прозрачными и n=1, _ ∆=|ED|+|DF|=2dsinθ, 2dsinθ=±kλ – формула Вульфа-Брэга.

Это соотношение лежит в основе метода рентгеновского спектра, испускаемого рентгеновской трубкой. Применение ПДР: диспергирующий элемент в спектральной аппаратуре и зонная пластинка (линза Френеля) в дешевых мыльницах, голография.

4-1. Дифракции Френеля на круглых отверстиях и экранах.

Возможны два случая: отверстие (а) и экран (б).

а) Волна от источника S встречает ∞ экран с малым круглым отверстием AB. Исследуем световое воздействие в т.Р, лежащей на линии пересечения источника S с центром отверстия. Отверстие вырезает часть волновой поверхности, разобьем открытую часть волновой поверхности на зоны Френеля. (рис.6) В зависимости от размеров отверстий на ней укладывается то или иное количество зон. Если отверстие пропускает 1,3,5 зон, то световое воздействие в т.Р больше, чем при полностью открытом волновом фронте. Максимум светового воздействия в т.Р при k=1. (рис.7)

Если отверстие открывает небольшое четное число зон Френеля (k=2,4,6), то световое воздействие всегда меньше, чем при полностью открытом волновом фронте. Минимум воздействия отвечает отверстию в 2 зоны Френеля (рис.8).

б) Световая волна от источника S встречает на своем пути непрозрачный круглый экран AB (рис.9) Исследуем световое воздействие в т.Р. Экран перекрывает часть зон Френеля поэтому в т.Р приходят колебания от открытых зон Френеля. Используя рассуждения метода зон Френеля имеем: АР=A1'/2, A1' – первая открытая зона Френеля. Если экран открывает небольшое число зон Френеля, то освещенность в т.Р почти не отличается от случая с полностью открытым волновым фронтом. По мере увеличения размеров освещенность т.Р будет убывать, однако она остается освещенной. Лишь тогда, когда экран перекроет большое число зон Френеля, т.Р будет в области геометрической тени. Отсюда также вытекает вывод о прямолинейном распространении света.

5-1. Дифракция Фраугофера на щели. Выражение для распределения интенсивности на экране.

(рис.11) Пучок плоских волн падает нормально на узкую щель шириной а в непрозрачном ∞ экране. Как только плоский волновой фронт достигает плоскости АВ, её точки становятся источниками вторичных волн, распространяющихся от плоскости АВ по всем направлениям.

Выберем одно, характеризуемое углом дифракции φ. || плоскостям цели помещаем собирательную линзу L в фокальной плоскости которой находиться экран. Волны. дифрагированные от щели АВ соберутся в т.Р экрана – точке пересечения побочной оптической оси линзы с фокальной плоскостью. В т.Р будет наблюдаться максимум или минимум, и это зависит от оптической разности хода. Для её определения проведем нормаль АС на направление дифрагированных волн – проекция волнового фронта на плоскость чертежа. Отрезок СВ – и есть оптическая разность хода, после плоскости АС волны идут без изменения оптической разности хода. Разобьем СВ на малые отрезки СВ1,В1В2, ..=λ/2. Проведем через эти отрезки прямые, || АС, до пересечения с АВ. В результате плоскость щели оказалось разбитой на отрезки АА1,А1А2,.., причем разность хода вторичных волн, идущих от т.А1 и т.А2 =λ/2.

Следовательно, цель разбита на отрезки, которые представляют собой зоны Френеля. Если их число – четное (2k), то каждая пара соседних зон гасит друг-друга и в т.Р наблюдается минимум, четное число соответствует четному числу отрезков λ/2 на отрезке СВ (разность хода): CB=∆=a·sinφ _ a·sinφ=±2kλ/2, k=1,2,.. – условие интерференционных минимумов. Если число отрезов нечетно, то это максимумы: a·sinφ=±(2k+1)λ/2.

Для определения освещенности экрана в любой точке дифракционной картины воспользуемся графическим методом. Для этого разобъем цель на ∞ число ∞ узких участков || ребру щели. Амплитуда от каждого такого

малого участка будет постоянной, а разность фаз колебаний, приходящих в точку наблюдения будет в пределах:

δ=±2π∆/λ, ∆=a·sinφ, δ=±2π·a·sinφ/λ, Aφ=А0·|sin(2πa·sinφ/∆)/sin(2πa·sinφ/(∆·N))|, где N – число участков.

Если sinφ=0, φ=0, то Aφ=Amax=A0. Положение центрального максимума определяется углом дифракции φ _ в центре картины (в фокусе) наблюдается наиболее интенсивный максимум. Если с помощью последнего соотношения рассчитать Jm/J0 при различных значениях m, то получим: 1) k=0, Jφ~Aφ2, A02=φ02, Jφ/φ0=1; 2) k=1, Jφ/φ0=0,048; 3) k=2, Jφ/φ0=0,016; и т.д. В общем график распределения интенсивности от sinφ такой: [рис!]

9-1. Метод зон Френеля. (МЗФ)

Пусть в точке S находится точечный источник монохроматического света, который по всем направлениям испускает сферичные волны. В любой момент времени волновая поверхность Ф есть сферичная поверхность S. В т.P находится наблюдатель. Для определения светового воздействия в т.P согласно принципу ГФ следует заменить реальный волновой фронт эквивалентной совокупностью вторичных источников. В МЗФ такими вторичными источниками выступают кольцевые зоны получившиеся на поверхности Ф путем проведения с центром в т.P окружности с радиусом r1=r0+λ/2; r2=r1+λ/2=r0+2λ/2; rk=r0+kλ/2.

При таком построении колебания от каждой последующей зоны сдвинуты по отношению к колебанию от предыдущей зоны на λ/2, т.е. находятся в противофазе и будут гасить друг друга, т.е. их амплитуды будут вычитаться: AР=A1-A2+A3-A4+..=±Ak;

Можно доказать, что все зоны имеют одинаковую площадь. (AB)2=R2-R2+2Rx-x2, {x2→0 пренебрегаем}, Rk=√(2Rr0λ/(2(R+r0))) – радиус зоны Френеля в случае волнового фронта.

Согласно принципу Г-Ф в силу "одинаковости" площадей всех зон, то они должны испускать одинаковое по мощности вторичное излучение. Однако до наблюдателя в т.Р доходит излучение различной интенсивности, т.к. с увеличением номера зоны увеличивается радиус вектор и угол между нормалью и радиусом вектором: r1<r2<..<rk

_ A1>A2..>Ak.

Графич. метод нахождения результирующей амплитуды дифрагированной волны.

Если в данную точку приходит световое возбуждение от части волнового фронта, то эту часть разбивают на малые участки, столь малые, чтобы можно было считать, что фаза колебаний, создаваемых в точке наблюдения

– есть величина постоянная. Применим графический метод к методу зон Френеля. Разобьем центральную зону на 6 участков. ˉA1 – выражение, действительное в т.P всей первой зоны Френеля. Если участки уменьшаются до малых размеров, то ломанная линия заменится дугой, близкой к полуокружности. (рис.4) Вектор ˉA2 направленный ↑↓ вектору ˉA1, символизирует вывод метода зон Френеля о противоп. разности фаз колебаний относительно зон Френеля. A∞≈A1/2. (рис.5).

11-1. Дифракционная решетка. Ч-з графич. метод получить выраж. для положения гл. mах и min.

Дифракционная решетка – совокупность щелей одинаковой ширины, разделенных одинаковыми непрозрачными промежутками. Решетки бывают прозрачными и отражательными.

Рассмотрим оптическую схему действия прозрачной дифракционной решетки. Пусть плоская монохромная волна падает нормально на дифракционную решетку, состоящую из N щелей шириной а, разделенными промежутками b. d=a+b это период решетки (постоянная решетки).

Т.к. волна падает нормально, то волновой фронт достигает плоскостей всех щелей одновременно _ все щели испускают вторичные волны в одинаковой фазе. Выделим вторичные волны, идущие под углом φ к плоскостям щелей. Они соберутся в некоторой т.Р экрана.

Если бы волны, идущие от различных щелей, были некогерентны, то результирующая картина на экране не отличалась бы от картины, наблюдаемой при дифракции на одной щели, лишь все интенсивности возросли бы в N2 раз. Однако вторичные волны, идущие от различных щелей когерентны, и это усложняет результирующую картину на экране, т.к. кроме интерференции вторичных волн, идущих от каждой точки внутри каждой щели, будет иметь место интерференция N дифрагированных волн, идущих от различных щелей.

Для нахождения условия max и min на экране, воспользуемся графич. методом, для этого разобьем открываемую щелями часть волнового фронта на малые параллельные лучам участки, и обозначим амплитуду

колебаний, испускаемую каждым таким малым участком, ˉai. Тогда ˉA=Σпо I щелиˉai+Σпо II щелиˉai+..+Σпо N щелиˉai=ˉA1+ˉA2+..+ˉAN, где ˉAi – вектор амплитуды в т.Р от каждой щели.

Модули |ˉAi | одинаковы и определяются углом дифракции φ. Каждый последующий вектор повернут по отношению к предыдущему на угол δ, равный разности фаз, создаваемых в т.Р колебаниями от двух соседних щелей.

Разность фаз ∆ определяется разностью хода ∆=dsinφ. Очевидно, что min интенсивности на экране останется на тех же местах, что и при дифракции на одной щели, т.о. условие min: asinφ=kλ, сохраняется и при дифракции на многих щелях. Если разность фаз δ от двух соседних щелей =0, то все векторы ˉai и ˉAi располагаются вдоль одной линии, _ ∆=dsinφ=0 - условие главного max в т.Р. В этом случае все векторы ˉai располагаются вдоль одной прямой. Т.о. условие ±2kπ=2π∆/λ, dsinφ=±kλ, где k=0,1,2, есть условие главных max на экране.

12-1. Метод зон Френеля. (МЗФ). Выражение для амплитуды волны в точке наблюдения.

Пусть в точке S находится точечный источник монохроматического света, который по всем направлениям испускает сферичные волны. В любой момент времени волновая поверхность Ф есть сферичная поверхность S. В т.P находится наблюдатель. Для определения светового воздействия в т.P согласно принципу ГФ следует заменить реальный волновой фронт эквивалентной совокупностью вторичных источников. В МЗФ такими вторичными источниками выступают кольцевые зоны получившиеся на поверхности Ф путем проведения с центром в т.P окружности с радиусом r1=r0+λ/2; r2=r1+λ/2=r0+2λ/2; rk=r0+kλ/2.

При таком построении колебания от каждой последующей зоны сдвинуты по отношению к колебанию от предыдущей зоны на λ/2, т.е. находятся в противофазе и будут гасить друг друга, т.е. их амплитуды будут вычитаться: AР=A1-A2+A3-A4+..=±Ak;

Можно доказать, что все зоны имеют одинаковую площадь: для первой зоны, σ1=2πrx (2), ∆ABP: (AB)2=(r0+λ/2)2- (r0+x)2, ∆SAB: (AB)2=R2-(R-x)2, R2-R2+2Rx-λ2=r0+λr0+λ2/4-r02-2r0x-x2, {слагаемым λ2/4→0 пренебрегаем}, 2x(R+r0)=r0λ,

x=r0λ/(2(R+r0)) (3), σ1=πRr-λ/(R+r0) (4). Для второй зоны σ2'=2πRr0/(R+r0) – для шарового сектора, σ2=πRr0λ/(R+r0) –

для всей зоны. Откуда σ1=σ2=..σ – площади всех зон одинаковы.

(AB)2=R2-R2+2Rx-x2, {x2→0 пренебрегаем}, Rk=√(2Rr0λ/(2(R+r0))) – радиус зоны Френеля в случае волнового фронта.

Согласно принципу Г-Ф в силу "одинаковости" площадей всех зон, то они должны испускать одинаковое по мощности вторичное излучение. Однако до наблюдателя в т.Р доходит излучение различной интенсивности, т.к. с увеличением номера зоны увеличивается радиус вектор и угол между нормалью и радиусом вектором: r1<r2<..<rk

_ A1>A2..>Ak.

Выражение (1) можно представить в виде: AР=(A1/2)+((A1/2)–A2+(A3/2))[=0]+((A3/2)–A4+(A5/2))[=0]..±Ak/2; т.к. две соседние зоны мало отличаются по амплитуде, то можно считать, что каждая четная зона равна полусумме

соседних с ней нечетных зон, тогда скобки в предыдущем выражении обращаются в ноль и АР=A1/2±Ak/2. Если k→∞ (полностью открытый волновой фронт), то Ak/2→0 и тогда АР=A1/2, т.е. в этом случае свет распространяется вдоль узкого канала, соизмеримого с половиной центральной зоны Френеля, т.е. прямолинейно.

15-1. Метод зон Френеля. (МЗФ). Выражение для радиуса зон Френеля.

Пусть в точке S находится точечный источник монохроматического света, который по всем направлениям испускает сферичные волны. В любой момент времени волновая поверхность Ф есть сферичная поверхность S. В т.P находится наблюдатель. Для определения светового воздействия в т.P согласно принципу ГФ следует заменить реальный волновой фронт эквивалентной совокупностью вторичных источников. В МЗФ такими вторичными источниками выступают кольцевые зоны получившиеся на поверхности Ф путем проведения с центром в т.P окружности с радиусом r1=r0+λ/2; r2=r1+λ/2=r0+2λ/2; rk=r0+kλ/2.

При таком построении колебания от каждой последующей зоны сдвинуты по отношению к колебанию от предыдущей зоны на λ/2, т.е. находятся в противофазе и будут гасить друг друга, т.е. их амплитуды будут вычитаться: AР=A1-A2+A3-A4+..=±Ak;

Можно доказать, что все зоны имеют одинаковую площадь: для первой зоны, σ1=2πrx (2), ∆ABP: (AB)2=(r0+λ/2)2- (r0+x)2, ∆SAB: (AB)2=R2-(R-x)2, R2-R2+2Rx-λ2=r0+λr0+λ2/4-r02-2r0x-x2, {слагаемым λ2/4→0 пренебрегаем}, 2x(R+r0)=r0λ, x=r0λ/(2(R+r0)) (3), σ1=πRr-λ/(R+r0) (4). Для второй зоны σ2'=2πRr0/(R+r0) – для шарового сектора, σ2=πRr0λ/(R+r0) –

для всей зоны. Откуда σ1=σ2=..σ – площади всех зон одинаковы.

(AB)2=R2-R2+2Rx-x2, {x2→0 пренебрегаем}, Rk=√(2Rr0λ/(2(R+r0))) – радиус зоны Френеля в случае волнового фронта.

18-1. Дифракции Френеля на круглых отверстиях и экранах. Через МЗФ получить выражение для амплитуды результирующего колебания световой волны.

Возможны два случая: отверстие (а) и экран (б).

а) Волна от источника S встречает ∞ экран с малым круглым отверстием AB. Исследуем световое воздействие в т.Р, лежащей на линии пересечения источника S с центром отверстия. Отверстие вырезает часть волновой поверхности, разобьем открытую часть волновой поверхности на зоны Френеля. (рис.6) В зависимости от размеров отверстий на ней укладывается то или иное количество зон. Если отверстие пропускает 1,3,5 зон, то световое воздействие в т.Р больше, чем при полностью открытом волновом фронте. Максимум светового воздействия в т.Р при k=1. (рис.7)

Если отверстие открывает небольшое четное число зон Френеля (k=2,4,6), то световое воздействие всегда меньше, чем при полностью открытом волновом фронте. Минимум воздействия отвечает отверстию в 2 зоны Френеля (рис.8).

б) Световая волна от источника S встречает на своем пути непрозрачный круглый экран AB (рис.9) Исследуем световое воздействие в т.Р. Экран перекрывает часть зон Френеля поэтому в т.Р приходят колебания от открытых зон Френеля. Используя рассуждения метода зон Френеля имеем: АР=A1'/2, A1' – первая открытая зона Френеля. Если экран открывает небольшое число зон Френеля, то освещенность в т.Р почти не отличается от случая с полностью открытым волновым фронтом. По мере увеличения размеров освещенность т.Р будет убывать, однако она остается освещенной. Лишь тогда, когда экран перекроет большое число зон Френеля, т.Р будет в области геометрической тени. Отсюда также вытекает вывод о прямолинейном распространении света. Дифракции Фраунгофера можно наблюдать с помощью оптических систем. (рис.10)

19-1. Дифракция ренг. лучей. Формула Вульфа-Брэга.

Прохождение света через обычную ДР периодически изменяется в направлении, ┴ осям щелей. Такие решетки называются одномерными. Двумерную решетку можно представить как совокупность двух одномерных решеток, ориентированных т.о., что щели этих решеток взаимно перпендикулярны. ПДР можно представить как совокупность n двумерных решеток. Пример – монокристаллы, в которых частицы располагаются в строго определенном порядке вдоль трех координатных осей.

В 1913г. Вульф и Брэг наблюдали и объяснили дифракцию на ПДР. В монокристалле расстояние между узлами d≈1Å. Поэтому дифрагировать могут только волны, длина которых соизмерима с этим расстоянием. Они наблюдали дифракцию на монокристалле рентг. лучей. Такая дифракция – есть результат отражения лучей от || кристаллографических плоскостей, т.е. плоскостей, в которых находятся узлы кристаллической решетки.

AA’, BB’ – соседние || кристаллографические плоскости. При этом отражение имеет место при таких условиях падения (при углах скольжения θ) при которых отраженные волны 1’ и 2’ являются когерентными и для них выполняются условия max интерференции: ∆=kλ, k=1,2,3… Все среды для рентгеновских лучей являются прозрачными и n=1, _ ∆=|ED|+|DF|=2dsinθ, 2dsinθ=±kλ – формула Вульфа-Брэга.

Это соотношение лежит в основе метода рентгеновского спектра, испускаемого рентгеновской трубкой. Применение ПДР: диспергирующий элемент в спектральной аппаратуре и зонная пластинка (линза Френеля) в дешевых мыльницах, голография.

24-1. Дифракция Фраунгофера на щели. Аналитич. выраж, для распред. интенсивн. на экране.

Пусть на ∞ длинную щель падает плоская световая волна. Поместим за щелью собирающую линзу, а в фокальной плоскости линзы – экран. Т.к. щель ∞, картина, наблюдаемая в любой плоскости, ┴ щели, будет одинакова.

Рассмотрим одну такую плоскость: разобьем открытую часть волновой поверхности на элементарные зоны dx. Вторичные волны, посылаемые зонами в направлении, определяемом углом φ, соберутся в т.P. Каждая элем. зона создаст в т. Р колебания dE. Линза собирает в фокальной плоскости плоские волны. Поэтому в формуле dE=K·(a0dS/r)·cos(ωt-kr+α0) множитель 1/r отсутствует для случая дифракции Фраунгофера.

Если рассматривать не слишком большие углы φ, можно считать K=const. Амплитуда dA колебания dE, возбуждаемого зоной ширины dx в любой точке экрана: dA=Cdx, где С=const. А0 – алгебраическая сумма амплитуд возбуждаемых в точке экрана всеми зонами. A0=∫dA=∫b0Cdx=Cb, C=A0/b, dA=A0·dx/b. Сопоставим фазы колебаний, возбуждаемых в точке Р элементарными зонами с координатами 0 и х. Разность фаз между рассматриваемыми колебаниями образуется на пути ∆=xsinφ. Если начальную фазу колебания, возбуждаемого в т.Р элем. зоной при х=0, положить =0, то начальная фаза колебания, возбуждаемого зоной с координатой х,

будет: -2π∆/λ=-2πxsinφ/λ.

Получается dEφ=(A0·dx/b)·exp[i(ωt-2πxsinφ/λ)] (имеется ввиду вещественная часть этого выражения). Проинтегрировав это по ширине щели, получим результирующее колебание, возбуждаемое в т.Р открываемым

щелью участком волновой поверхности: Eφ=∫+b/2-b/2(A0/b)·exp[i(ωt-2πxsinφ/λ)]dx. Введем обозначение γ=πsinφ/λ. Eφ=(A0/b)·eiωt∫+b/2-b/2e-2iγxdx=eiωt{(A0/γb2i)·*[eiγb-e-iγb]}.

Выражение в фигурных скобках определяет комплексную амплитуду результирующего колебания: (разность экспонент, деленная на 2i = sinγb), Ãφ=А0sinγb/γb=A0sin(πbsinφ/λ)/πbsinφ/λ. Модель этого выражения представляет собой амплитуду результирующего колебания: Aφ=|A0 sin(πbsinφ/λ)//πbsinφ/λ|. Интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды, поэтому Iφ=I0sin2(πbsinφ/λ)/(πbsinφ/λ)2, где I0 – интенсивность в середине дифракционной картины, а Iφ – в точке, положение которой определяется значением φ.

29-1. Дифракция. Принцип ГФ. МЗФ. Выражение для радиуса зон Френеля.

Дифракцией света называется явление отклонения от прямолинейного распространения волн, огибание волнами препятствий и захождение волн в область геометрической тени.

Качественно явление дифракции света объясняется на основе принципа Гюйгенса: каждая точка пространства, до которой дошло световое возбуждение становится источником вторичных волн, распространяющихся в данной среде с характерной для нее фазовой скоростью V. Геометрическое место точек, до которых доходит световое возбуждение за один и тот же промежуток времени носит название фронта волны или волновой поверхности. Количественный расчет дифракции был предпринят Френелем, который исходил из ряда положений, принимающихся без доказательства и составляющих принцип ГФ.

1)Следуя Гюйгенсу Френель предложил заменить реально действующий источник излучения эквивалентной ему совокупностью вторичных (виртуальных) источников и испускаемых ими вторичных волн.

2)Френель развил идеи Гюйгенса и предположил, что все вторичные источники когерентны между собой и испускают когерентные волны, т.о. в любой точке вне S, волны, идущие от S0 представляют собой интерференцию вторичных волн.

3)Для поверхности S1, совпадающей с волновой поверхностью равные по площади вторичные источники испускают равное по мощности вторичное излучение.

4)Каждый вторичный источник, излучает в направлении внешней нормали к волновой поверхности в этой точке. Интенсивность излучения (амплитуда) в т.Р тем меньше, чем больше угол α между внешней нормалью ˉn и радиус-вектором ˉr проведенным в точке наблюдения. Фаза результирующего колебания также зависит ˉr.

5)Если часть волновой поверхности перекрыта непрозрачным экраном, то световое воздействие в точке

наблюдателя осуществляется открытыми вторичными источниками. Для расчета воздействия существует приближенный метод расчета интерференции вторичных волн – МЗФ.

Пусть в точке S находится точечный источник монохроматического света, который по всем направлениям испускает сферичные волны. В любой момент времени волновая поверхность Ф есть сферичная поверхность S. В т.P находится наблюдатель. Для определения светового воздействия в т.P согласно принципу ГФ следует заменить реальный волновой фронт эквивалентной совокупностью вторичных источников. В МЗФ такими вторичными источниками выступают кольцевые зоны получившиеся на поверхности Ф путем проведения с центром в т.P окружности с радиусом r1=r0+λ/2; r2=r1+λ/2=r0+2λ/2; rk=r0+kλ/2.

При таком построении колебания от каждой последующей зоны сдвинуты по отношению к колебанию от предыдущей зоны на λ/2, т.е. находятся в противофазе и будут гасить друг друга, т.е. их амплитуды будут вычитаться: AР=A1-A2+A3-A4+..=±Ak;

Можно доказать, что все зоны имеют одинаковую площадь: для первой зоны, σ1=2πrx (2), ∆ABP: (AB)2=(r0+λ/2)2- (r0+x)2, ∆SAB: (AB)2=R2-(R-x)2, R2-R2+2Rx-λ2=r0+λr0+λ2/4-r02-2r0x-x2, {слагаемым λ2/4→0 пренебрегаем}, 2x(R+r0)=r0λ, x=r0λ/(2(R+r0)) (3), σ1=πRr-λ/(R+r0) (4). Для второй зоны σ2'=2πRr0/(R+r0) – для шарового сектора, σ2=πRr0λ/(R+r0) –

для всей зоны. Откуда σ1=σ2=..σ – площади всех зон одинаковы.

(AB)2=R2-R2+2Rx-x2, {x2→0 пренебрегаем}, Rk=√(2Rr0λ/(2(R+r0))) – радиус зоны Френеля в случае волнового фронта.