4°. Закон инерции квадратичных форм.

Как было показано ранее, число отличных от нуля коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы не зависит от вида преобразования, с помощью которого приводится к каноническому виду. В действительности, не меняется число положительных и отрицательных коэффициентов. Это свойство называется законом инерции квадратичных форм. А именно справедливо:

Теорема 4 (закон инерции квадратичных форм): Число слагаемых с положительными (отрицательными) коэффициентами в каноническом виде квадратичной формы не зависит от способа приведения формы к этому виду.

Доказательство: Пусть форма с помощью некоторого преобразования координат приводится к виду , а с помощью другого преобразования того же вида – к , для доказательства теоремы на показать, что .

От противного. Предположим, что . Убедимся, что есть ненулевой вектор : в новых координатах и , координаты и равны нулю, т.е.

Каждое из этих уравнений имеет вид:

=,

=.

с известными . Так как уравнений меньше, чем эти уравнения имеют ненулевое решение в силу равенства в новых переменных , т.е. – нулевой вектор, что противоречит тому, что – ненулевой предположение – неверно . В силу симметричности законов приведения – неверно . Что и требовалось доказать. ■

5°. Классификация квадратичных форм.

Определение 6. Индексом инерции квадратичной формы называется число отличных от нуля коэффициентов канонического вида (т.е. ранг формы), положительным (отрицательным) индексом – число положительных (отрицательных) коэффициентов.

Очевидно, что сумма положительных и отрицательных индексов инерции равна индексу инерции.

Обозначим – индекс инерции, положительный и отрицательный индексы соответственно, . Тогда квадратичная форма может быть приведена к виду в некотором базисе .

Утверждение 3: Для того, чтобы квадратичная форма , заданная в –мерном пространстве , была знакоопределенной, необходимо и достаточно, чтобы, либо , либо . Если , то форма положительно определена, если – отрицательно определена.

Доказательство: приведем для положительно определенной.

– положительно определена приводится к виду , если , то  , .

Пусть и для – положительно определена.

Утверждение 4: Форма – знакопеременная и положительный и отрицательный индексы отличны от нуля.

Доказательство: квадратичная форма принимает и положительные и отрицательные значения в каноническом виде должны быть как положительные, так и отрицательные выражения

.

(10)

Если справедливо (10), то для , , а для , (10) – канонический вид знакопеременной формы.

Утверждение 5: Для того, чтобы была квазизнакоопределенной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения либо , , либо , .

Доказательство: Аналогично п. 4

6°. Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы.

(позволяет исследовать без приведения к каноническому виду)

Пусть – квадратичная форма и – угловые миноры.

Теорема 5 (критерий Сильвестра): Для того, чтобы квадратичная форма была положительно определена, необходимо и достаточно, чтобы были выполнены неравенства .

Для того чтобы, форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров чередовались, причем ₁<0

Доказательство: Докажем в начале, что из условия знакоопределенности следует, что

 пусть . Рассмотрим систему ЛОУ

, то определитель система имеет нетривиальное решение. Пусть – такое решение. Умножая первое уравнение на –е на и складывая, получим : =0, т.е. получили, что квадратичная форма на ненулевом векторе обращается в нуль. Это противоречит знакоопределенности , . Поэтому можно применить теорему Якоби (теорема 3) и воспользоваться формулой для коэффициентов . Если – положительно определена, то все , так как , .

Если – отрицательно определенная форма, то , т.е. знаки угловых миноров чередуются.

Пусть выполнены условия, что , можно воспользоваться методом Якоби форма положительно определена.

Если знаки чередуются и , то форма отрицательно определена. Что и требовалось доказать. ■

Замечание: Отрицательный индекс инерции равен числу перемен знаков в последовательности определителей .

53