Пример:

Определение 5: Диагональный вид квадратичной формы в вещественном пространстве называется каноническим, если коэффициенты .

В комплексном пространстве вид канонический, если .

Базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид, называется каноническим. Он, обычно, определен неоднозначно.

Следствие (к Теореме 1). Для каждой квадратичной формы базис, в котором она имеет канонический вид.

Доказательство. В начале приведем к диагональному виду, а затем, если , то остаётся без изменения, если , то замена .

Очевидно, что после этого получается канонический вид и эта замена невырожденная. ■

Замечание 2 (о ранге квадратичной формы). После приведения квадратичной формы к диагональному виду часть перенумеровывает так, что первые переменных имеют ненулевые (первые слагаемых имеют коэффициент 1, остальные (–1)) и далее 0:

.

Ясно, что . Очевидно, что в силу Лемм 1и 2, при переходе к новому базису ранг не меняется и значит, т.к. он для канонического вида равен , то и в другом базисе равен . Более того, при любом приведении к каноническому виду число отличных от нуля канонических коэффициентов одно и то же и равно рангу квадратичной формы.

3°. Метод Якоби приведения к каноническому виду.

Дает формулы, выражающие искомый канонический базис через исходный .

Теорема 3: Пусть в базисе квадратичная форма имеет вид , . Пусть определители

(5)

Тогда существует базис , в котором записывается в виде суммы квадратов следующим образом , где и – координата вектора в базисе .

Дающийся в теореме способ приведения квадратичной формы к сумме квадратов называется методом Якоби.

Доказательство: Необходимо определить новый базис так, что при . процесс построения таких совпадает с процессом ортогонализации, если заменить скалярное произведение векторов произвольной формой, удовлетворяющей условиям (5).

Будем искать в виде:

(6)

Коэффициенты можно было бы найти из условия при .однако это привело бы к решению уравнений второго порядка на . Поступим иначе.

Если , для , то , для . Действительно, подставляя вместо выражение , получаем если , и то в силу симметрии билинейных форм . То задача свелась к следующей: определить так, что удовлетворяли условиям

, для .

(7)

Этими условиями определяются с точностью до постоянного множителя. Зафиксируем этот множитель условием

.

(8)

Сейчас увидим, что требования (7), (8) определяют вектор однозначно. Действительно, подставляя в (7), (8) выражение для , имеем:

.

(9)

По условию (5) определитель этой системы линейных уравнений отличен от нуля по теореме Крамера решение !

Теперь найдем коэффициенты квадратичной формы в базисе . Так как , то по построению при .

Вычислим |в силу (7), (8)|= по правилу Крамера, из (9) . Что и требовалось доказать. ■

Замечание: приведенный выбор канонического базиса не единственный.

Пример: Привести к диагональному виду форму , данную в базисе , , .

, , т.е. не обращаются в нуль, т.е. условия теоремы выполнены.

Положим:

соответствующая билинейная форма имеет вид

из . Для и имеем уравнения и .

Наконец, для , и имеем систему уравнений:

т.е. , , , , , т.е. .

.