Примеры:

1. Рассмотрим пространство и пусть . Положим

где . Очевидно, что это билинейная форма.

2. Пусть – пространство и

Положим Это билинейная форма. Если

Задача. Показать, что если – линейные функции, то – билинейная.

Пусть мерное линейное пространство с базисом .

Если , то билинейная функция может быть вычислена следующим образом:

Здесь чисел является значением билинейной формы на всевозможных мерах базисных векторов и называются коэффициентами билинейной формы в базисе . Если ввести матрицу билинейной формы, то есть матрицу , таким образом . (1)

Рассмотрим изменение матрицы при переходе к другому базису.

, то есть  

(2)

где – матрица билинейной функции в базисе .

Определение 2. Билинейная форма называется симметричной, если .

Если билинейная форма симметрична, то  матрица билинейной формы симметрична.

Обратно, пусть матрица билинейной формы симметрическая, то есть

, то есть билинейная форма тоже симметричная. Итак,

Предложение. Билинейная форма симметрична  её матрица – симметрическая (в произвольном базисе).

§8. Квадратичные формы

1. Определение. Теорема о поляризации.

Определение 1. Пусть – симметрическая билинейная форма. Функция , которая получается из , если положить , называется квадратичной формой.

называется билинейной формой, полярной к квадратичной форме . Из симметричности 

Теорема 1. Полярная форма однозначно определяется своей квадратичной формой .

Доказательство: из определения билинейной формы следует

Справа стоят квадратичные формы  билинейная форма определяется своей квадратичной формой. ■

Матрица симметричной билинейной формы называется матрицей, соответствующей квадратичной форме . Так как

в данном фиксированном базисе, где , то всякая квадратичная форма при заданном базисе выражается формулой:

, (1)

или в матричном виде,

(1)

Правая часть (1) – однородный многочлен второй степени относительно .Он содержит подобные члены в силу  после приведения подобных, имеем

Еще два важных определения.

Определение 2. Квадратичная форма называется

1) положительно (отрицательно) определенной, если

(такие формы называются знакоопределенными).

2) знакопеременной, если

.

3) квазизнакоопределенной, если или , но .

Далее будут указаны признаки, по которым форму можно отнести к каждому из классов.

Пример: – положительно определенная.

Пусть – положительно определенная квадратичная форма, - её полярная форма. Тогда в силу сформулированных выше определений имеем:

1.

2.

3.

4.

Как видно, эти аксиомы совпадают с аксиомами скалярного произведения 

Предложение 1. Скалярное произведение есть билинейная форма, соответствующая положительно определенной квадратичной форме, и любая такая форма может быть принята за скалярное произведение. 

Определение скалярного произведения может быть сформулировано как:

Определение 3. Евклидовым пространством называется линейное пространство, в котором выбрана какая–либо фиксированная положительно определенная форма . Значение соответствующей ей билинейной формы считается при этом скалярным произведением векторов (оно ранее обозначалось как , а не ).

Определение 4. Ранг матрицы квадратичной формы называется рангом квадратичной формы.

Если , то форма называется невырожденной, если – то вырожденной.

Далее нам понадобятся следующие две леммы о рангах матрицы.

Пусть и .

Лемма 1: Ранг произведения матриц не больше ранга любого из сомножителей, т.е.

(2)

(3)

Доказательство: Докажем равенство (3). В начале тривиальные случаи:

1. если , то – нулевая – нулевая , т.е. (3) доказано.

2. если (число столбцов), то также очевидно, так как – число столбцов в .

Далее пусть и . Тогда имеет базисных столбцов и хотя бы один столбец, не принадлежащий этой системе. Пусть базисных столбцов – это первые столбцы. Тогда –ый столбец, , выражается через них по теореме о базисном миноре:

, т.е. .

По определению произведения матриц имеем: . Тогда , т.е. в матрице столбец с номером , также выражается через ее первые столбцов:

Значит, всех столбцов матрицы не больше , т.е. , т.е. (3) доказано.

Для доказательства (2) перейдем к транспонированным матрицам: . ■

Замечание: Из Леммы 1 не следует, что первые столбцов матрицы линейно независимы.

Лемма 2: Пусть и – невырожденны. Тогда не изменяется при умножении на и на , т.е.

Доказательство: Пусть (по Лемме 1). Но ч.т.д. ■

2°. Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду.

Очевидно, что выражение (1) квадратичной формы через координаты вектора зависит от выбора базиса в линейном пространстве. Оказывается, выбирая базис определенным образом, можно привести квадратичную форму к некоторому простейшему виду, а именно, справедлива

Теорема 1: Для каждой квадратичной формы базис, в котором

(4)

т.е. матрица квадратичной формы является диагональной.

Доказательство: По индукции по числу переменных

1. при в произвольном базисе квадратичная форма имеет диагональный вид.

2. пусть справедливо для квадратичной формы от переменной и докажем для переменных. Пусть в произвольном базисе

.

Если все , то матрица диагональна. Далее будем рассматривать случай, когда хотя бы одно .

Рассмотрим два случая:

1. все . Тогда перенумерованием переменных можно добиться, что , т.е. имеется слагаемое . Заменим координаты по формуле:

.

Этой замене соответствует матрица , причём с определитель не равен 0. Т.е. это матрица – матрица перехода к новому базису.

При этой замене член перейдет в и так как по предположению , то он ни с чем не может сократиться и значит коэффициент при не равен 0.

Таким образом, при необходимости делая перенумерование, мы всегда можем рассматривать случай

2) . Тогда в квадратичной форме выделим все члены, содержащие :

:

Дополним эту сумму до полного квадрата:

,

где через обозначены члены, содержащие лишь квадраты и попарные произведения членов . Подстановка этого выражения в (1) дает

,

где – квадратичная форма от переменной .

Согласно предположению индукции, замена переменных

,

согласно которой приводится к виду

Положим и получим для диагональный вид. Последняя замена имеет матрицу и .

Обратная к ней матрица является матрицей перехода к искомому базису. ▄

Замечание 1. Способ приведения квадратичной формы к диагональному виду, данный в доказательстве, называется методом выделения квадратов.