3°. Преобразования координат в сопряжённых пространствах.

Ранее мы рассмотрели вопрос преобразования координат векторов линейного пространства при переходе от одного базиса к другому и установили, что если переход от старого базиса к новому осуществляется с помощью матрицы перехода , то координаты произвольного вектора в новом базисе выражаются через его координаты в старом с помощью матрицы , обратной к матрице .

Займемся теперь следующей задачей. Пусть в пространствах и заданы по два биортогональных базиса и известны матрицы перехода от одного базиса к другому в одном из сопряженных пространств. Требуется установить, по каким законам преобразуются контравариантные и ковариантные векторы.

Итак, пусть и – два базиса пространства . Первую пару биортогональных базисов будем называть старыми базисами пространств соответственно и , а вторую пару – новыми. Пусть, далее, переход от старого базиса пространства к новому осуществляется при помощи матрицы :

. (7)

Найдем теперь матрицу перехода от старого базиса пространства к новому базису . Но сначала найдем матрицу , обратную к матрице , т.е. матрицу перехода от к :

; .

(8)

С этой целью вычислим двумя способами скалярное произведение : один раз подставляя значения из разложения (7), другой – значения из разложения (8):

Сравнивая правые части полученных равенств, заключаем, что совпадает с . Различие между формулами (7) и (8) состоит в том, что суммирование в разложении (7) производится по индексу строки (по верхнему индексу) матрицы , а в разложении (8) – по индексу столбца (по нижнему индексу) матрицы . Поэтому в литературе можно встретить утверждение, что «матрица , обратная к матрице , является транспортированной к матрице ». Это обусловлено также тем, что зачастую в литературе и координаты вектора , и базисные вектора записывают в виде матрицы–столбца. Таким образом, получим

.

Установим теперь формулы преобразования координат произвольных (контравариантных и ковариантных) векторов пространств и .

Пусть произвольный вектор пространства имеет в базисах и соответственно координаты и :

и .

Пусть и – соответствующие биортогональные базисы. Тогда , с другой стороны,

,

поэтому . Отсюда следует, что координаты вектора пространства преобразуются по тем же формулам, что и векторы взаимного базиса в .

Аналогично можно показать, что координаты произвольных векторов пространства преобразуются по тем же формулам, что и векторы взаимного базиса пространства :

.

Таким образом, мы пришли к следующему заключению: при переходе от старой системы координат к новой, ковариантные векторы преобразуются с помощью матрицы (матрицы перехода от старого базиса к новому в пространстве ), а контравариантные векторы – с помощью матрицы , обратной к матрице .

§7. Билинейные функции на линейном пространстве

Определение 1. Билинейной функцией (или билинейной формой) на линейном пространстве называется функция от двух векторов :

1. При фиксированном , – линейная функция ;

2. При фиксированном , – линейная функция.

Иными словами,