3. Выражение скалярного произведения через компоненты сомножителей. Матрица Грама.
Пусть в произвольном
евклидовом пространстве
задан базис
.
Это позволяет
представить в виде
.
Вычислим скалярное произведение
:
.
Отсюда следует,
что если базис
− ортонормированный, то есть
,
то
.
Теорема 5. В ортонормированном базисе скалярное произведение любых двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов.
Если же базис {
}
− произвольный, то произведения
обозначим
и введем в рассмотрение квадратную
матрицу
=
=
,
называемую матрицей
Грамма базиса {
}.
В силу коммутативности скалярного
произведения
,
т.е. матрица Грама симметрическая.
Обозначим
=
,
.
Тогда скалярное произведение
можно переписать в матричном виде:
.
Если {
}
− ортонормированный, то
и
.
Рассмотрим два
базиса {
}
и {
},
связанные при помощи матрицы перехода
:
если
и
,
т.е.
.
Тогда для базиса {
}
матрица Грама имеет вид:
|
|
(5) |
.Эта формула даёт связь между матрицами Грама для двух связанных между собой базисов. Равенство (5) в матричном виде имеет вид:
|
|
(6) |
,что легко проверить прямыми вычислениями.
Рассмотрим последнюю
формулу в частном случае, когда {
}
– ортонормированный. Тогда
и формула (6) имеет вид:
Г
=
вычисляя определитель
в силу теоремы об определителе произведения
матриц, имеем:
detГ
=
det(
)
det
= (det
)
.
Так как {
}
– произвольный базис
// т.к. det
0
//
Теорема 6. Определитель матрицы Грама любого базиса положителен.
Эта теорема может быть усилена:
Теорема 7.
Пусть
,…,
− произвольные (не обязательно линейно
независимые) вектора в евклидовом
пространстве. Тогда определитель матрицы
,
составленной из попарных скалярных произведений, положителен, если вектора линейно независимы, и равен нулю, если они линейно зависимы.
Доказательство:
Первое
утверждение теоремы следует из теоремы
6, т.к. если
,…,
− линейно независимы, то они образуют
базис в своей линейной оболочке.
Докажем второе
утверждение. Если векторы
– линейно
зависимы, то выполнено равенство
,
где хотя бы одно
.
Умножая это равенство скалярно на каждый
из векторов
получим систему уравнений
,
которой удовлетворяет
ненулевое решение
определитель матрицы этой системы равен
нулю.■
Замечание.
Доказанная теорема обобщает неравенство
Коши–Буняковского, которое имеет место
при
.
4˚. Ортогональное дополнение к линейному подпространству.
Определение 9.
Два множества
и
векторов евклидова пространства
называются ортогональными,
если каждый вектор первого множества
ортогонален к каждому вектору второго.
В частности, будем
говорить, что вектор
ортогонален к множеству
,
если
ортогонален каждому
.
Ортогональность
и
обозначается
.
Лемма 3.
Если два множества
и
ортогональны, то их пересечение либо
пусто, либо состоит только из нулевого
вектора.
Доказательство:
На самом
деле, если
и
.
■
Следствие. Сумма ортогональных подпространств всегда является прямой суммой.
Доказательство: Это
следует из того, что их пересечение в
силу леммы 3 состоит только из нулевого
вектора
сумма прямая. ■
Пусть
– подпространство евклидового
пространства.
Определение 10.
Ортогональным
дополнением
подпространства
E
называется множество всех векторов,
перпендикулярных каждому вектору из
.
Ортогональное
дополнение к
обозначается
.
Очевидно, что
– линейное подпространство; на самом
деле, если
,
а
,
то (
u+
v,w)
=
(u,w)+
(v,w)
= О
u
+
v
U
,что
и требовалось доказать.
Теорема 8.
Евклидово пространство
есть прямая сумма любого своего
подпространства U
и его ортогонального дополнения U
.
Доказательство:
Пусть dimU=k
и пусть e
,…,
e
− ортонормированный базис в U.
В силу теоремы 7 из параграфа 11 (Часть
1) эти вектора можно дополнить до базиса
во всём пространстве
.
Применяя к ним процесс ортогонализации
Грама-Шмидта, получим ортонормированный
базис e
,…,
e
евклидова пространства
.
Любой элемент
х
Е
может быть разложен по этому базису:
x
= x
e
+…+
x
e
+
x
e
+…
+x
e
,
т.е. х=x
+x
,
где x
= x
e
+…+
x
e
U,
а x
= x
e
+…
+x
e
U
,
в силу
ортонормированности базиса. Следовательно,
в силу следствия к лемме 3, сумма U
и U
– прямая сумма. ■
Следствие 1.
(U
)
= U.
Следствие 2.
может быть единственным образом
представлен в виде х=
x
+x
,
где x
U,
x
U
.
При этом x
называется ортогональной
проекцией
вектора
на подпространство U,
а x
− ортогональной
составляющей
относительно U.
Задача.
В Е
подпространство U
натянуто на векторы
=(1,0,1,1),
и
=(0,1,1,–1).
Найти ортогональную проекцию и
ортогональную составляющую вектора
=(1,2,0,1)
на подпространство U.
Решение.
1 способ.
Вектора
и
− ортогональны. Нормируя их, получаем:
=
(1;0;1;1);
=
(0;1;1;–1).
Если
= x
+x
+
x
+x
,
то
x
= (
,
)
=
;
x
= (
,
)
=
Если x
= x
+x
x
= x
+x
= (
;
;1;
).
;
;–1;
).
2 способ.
Применим процесс ортогонализации к
базису в
:
.
Выберем
= (0;0;1;0),
= (0;0;0;1)
ортогонализация даёт:
=
– (
,e
)e
– (
,e
)
e
= (–
;–
;
;0)
=
(–
;–
;
;0).
Аналогично,
= (–
;
;0;
).
Решим систему:
x
=
,
x
=
,
x
=-
,
x
=
x
=x
+x
;
x
=x
+x
.
-