STAT15

15. Измерение тесноты связи с помщью линейного коэффициента корреляции и эмпирического корреляционного отношения. Определение коэффициента эластичности.

Коэффициент парной линейной регрессии имеет смысл показателя силы связи между вариацией факторного признака х и вариацией результативного признака у. Он измеряет среднее по совокупности отклонение у от его средней величины при отклонении признака х от своей средней величины на принятую единицу измерения.

Теснота парной линейной корреляционной связи может быть измерена корреляционным отношением h. Кроме того, при линейной форме уравнения применяется другой показатель тесноты связи- коэффициент корреляции r_xy . Этот показатель представляет собой стандартизированный коэффициент регрессии, т.е. коэффициент, выраженный не в абсолютных единицах измерения признаков, а в долях среднего квадратического отклонения результативного признака:

r_xy=bs_x

s_y

Коэффициент корреляции был предложен английским статистиком и философом К. Пирсоном.

Квадрат коэффициента корреляции называется коэффициентом детерминации:

_n _ _

bS(x_i-x)(y_i-y)

r_xy²= ^{I=1_____________}

_n _

S(y_i-y)²

^I=1

Домножим числитель и знаменатель на :

_n _

S(x_i-x)²

^I=1

В результате преобразований получим:

_n _ _

S(y_i-y)²

r_xy²= ^I=1________

_n _

S(y_i-y)²

^I=1

Это выражение соответствует выражению h². Тождество коэффициента детерминации и квадрата корреляционного отношения служит основанием для интерпретации величины r_xy² как доли общей дисперсии результативного признака у, которая объясняется вариацией признака-фактора х ( и связью между вариацией обоих признаков). Собственно говоря, основным показателем тесноты связи и следовало бы считать коэффициент детерминации ( для линейной формулы связи ) или квадрат корреляционного отношения. Но исторически раньше был введен коэффициент корреляции, который долгое время рассматривался как основной показатель.

Определение коэффициента ластичности.

Общий вид многофакторного уравнения регрессии имеет вид:

_ _k

y=a+ Sb_jx_i

^j=1

Свободный член уравнения вычисляется по формуле

_ _k

a= y- Sb_jx_i , где b_j-коэффициент

^j=1 условно-чистой регрессии.

Термин “ коэффициент условно-чистой регрессии” означает, что каждая из величин b_j измеряет среднее по совокупности отклонение результативного признака от его среедней величины при отклонении данного фактора x_j от своей средней величины на единицу его измерения и при условии, что все прочие факторы, входящие в уравнение регрессии, закреплены на средних значениях, не изменяются и варьируют.

Коэффициенты условно-чистой регрессии полезно выразить в виде относительных сравнимых показателей связи, коэффициентов эластичности:

_

e_j=b_jx_j

y

Коффициент эластичности фактора x_j говорит о том, что при отклонении величины данного фактора от его средней величины на 1% и при отвлечении от сопутствующего отклонения других факторов, входящих в уравнение, результативный признак отклонится от своего среднего значения на e_j процентов от y. Чаще интерпретируют и применяют коэффициенты эластичности в терминах динамики.