STAT14

14. Выявление форм корреляционных зависимостей ( наиболее часто используемые функции ). Нахождение уравнение регрессии и его параметров.

Уравнение корреляционной связи измеряет зависимость между вариацией результативного признака и факторного признака (признаков ). Меры тесноты связи измеряют долю вариации результативного признака, которая связана корреляционно с вариацией факторного признака (признаков ).

Простейшей системой корреляционной связи является линейная связь между двумя признаками-парная линейная корреляция.

Практическое значение ее в том, что есть системы, в которых среди всех факторов, влияющих на результативный признак, выделяется один важнейший фактор, который в основном определяет вариацию результативного признака. Внимание к линейным связям объясняется ограниченной вариацией переменных и тем, что в большинстве случаев нелинейные формы связей для выполнения расчетов преобразуются в линейную форму.

Уравнение парной линейной корреляционной связи называется уравнением парной регрессии и имеет вид: y=a+bx

где у- среднее значение результативного признака у при определенном значении факторного признака х;

а- свободный член уравнения;

b- коэффициент регрессии, измеряющий среднее отношение отклонения результативного признака от его средней величины к отклонению факторного признака от его средней величины на одну единицу его измерения- вариация у, приходящаяся наединицу вариации х.

Это уравнение определяется по данным о значениях признаков х и у в изучаемой совокупности, состоящей из n единиц. Параметры уравнения а и b находятся методом наименьших квадратов ( МНК )

Исходное условие МНК для прямой линии имеет вид:

_n

f(a,b)=S [ y_i- (a-bx_i)]²® min.

^I=1

Для отыскания значений параметров а и b, при которых f(a,b) принимает минимальное значение, частные производные функции приравниваем к нулю и преобраазуем получаемые уравнения, которые называются нормальными уравнениями МНК для прямой: _{n n}

na+bSx_i = Sy_i

^{I=1 I=1}

_{n n n}

aSx_i+bS(x_i)² = Sx_iy_i

^{I=1 I=1 I=1}

Нормальные уравнения Мнк для прямой линии регрессии являются системой двух уравнений с двумя неизвестными а и b. Все остальные величины, входящие в систему, определяются по исходной информации. Таким образом, однозначно вычисляются при решении этой системы уравнений оба параметра уравнения линейной регрессии.

Если первое нормальное уравнение разделить на n, получим:

_ _ _ _

a+bx=y, откуда a=y-bx.

По этому уравнению обычно на практике вычисляется свободный член регрессии а. Параметр b вычисляется по преобразованной формуле, которую можно вывести, решая систему нормальных уравнений относительно b:

_ _ _ _

b=xy-x*y

_

x²-x^-2

Так ка знаменатель этого выражения есть не что иное, как дисперсия признака х, т.е. s_х², то можно записать формулу коэффициента регрессии в виде:

_ _ _ _

b=xy-x*y

s_х²

Параболическая корреляция.

Линейные связи являются основными. Однако встречаются и нелинейные связи, хорошо описываемые параболой, гиперболой и т.д. Уравнение регрессии в форме параболы 2-го порядка имеет следующий вид:

_

y=a+bx+cx² .

Если при линейной связи среднее изменение результативного признака на единицу фактора постоянно по всей области вариации фактора, то при параболической корреляции изменение признака х на единицу признака у меняется равномерно с изменением величины фактора. В результате связь может даже поменять знак на противоположный, из прямой в обратную, из обратной-в прямую. Такой характер связи присущ многим системам. Например, с увеличением дозы удобрений урожайность сельхозкультур сначала повышается, но если превысить оптимальную величину дозы, то при дальнейшем росте дозы удобрений растения угнетаются и урожайность снижается.

Нормальные уравнения метода наименьших квадратов для параболы 2-го порядка таковы:

_{n n n}

na+bSx_i+cSx_i²=Sy_i

^{1 1 1}

_{n n n n}

aSx_i+bSx_i²+cSx_i³=Sy_ix_i

^{1 1 1 1}

_{n n n n}

aSx_i²+bSx_i³+cSx_i⁴=Sy_ix_i²

^{1 1 1 1}

Решая эту систему, получаем значения параметров a,b и c.

Гиперболическая корреляция.

Уравнение регрессии в форме гиперболы имеет следующий вид:

_

y=a+b

x

Если величина b положительна, то при увеличении значения факторного признака х значения результативного признака уменьшаются, причем это уменьшение все время замедляется, и при х® ¥ средняя величина признака у будет равна а. Если же параметр b отрицателен, то значения результативного признака с ростом фактора возрастают, причем их рост замедляется, и в приделе при х® ¥ у=а.Таким образом, гиперболические зависимости характерны для связей, в которых результативный признак не может варьировать неограничено, его вариация имеет односторонний предел. Например, при освоении нового оборудования его производительность возрастает, но рост замедлится при приближении к конструктивно-технологическому пределу производственной мощности агрегата и т.п.

Нормальные уравнения метода наименьших квадратов для гиперболы таковы:

_{n n}

na+bS1=Sy_i

¹x_i ¹

_{n n n}

aS1+bS1= Sy_i

¹ x_i ¹ x_i^{2 1}x_i

Легко видеть, что эти уравнения, по существу, те же, что и для линейной связи. Линеаризация гиперболичческого уравнения достигается заменой 1/х на новую переменную, z. Тогда уравнение регрессии в форме гиперболы примет вид: _

y=a+bz